Mangyaring tulungan ang isang tao upang malutas ang problema?

Mangyaring tulungan ang isang tao upang malutas ang problema?
Anonim

Sagot:

Subukan ang pagbabago # x = tan u #

Tingnan sa ibaba

Paliwanag:

Alam namin iyan # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Sa pamamagitan ng pagbabago na iminungkahi namin

# dx = sec ^ 2u du #. Hinahayaan ang kapalit sa integral

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Sa gayon, pagwawasak ng pagbabago:

# u = arctanx # at sa wakas ay mayroon kami

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Sagot:

#color (asul) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Paliwanag:

Subukan nating gamitin ang Trigonometric Pagpapalit para sa paglutas ng integral na ito. Upang gawin ito, gagawin namin ang isang tamang tatsulok na anggulo #Delta ABC # at lagyan ng label ang mga panig sa isang paraan na gumagamit ng pormula ni Pythagoras na maaari nating kunin ang mga expression na kasalukuyang nakikita natin sa argumento ng mahalaga bilang mga sumusunod:

Anggulo # / _ B = theta # may kabaligtaran # x # at katabing bahagi #1#. Paggamit ng formula ng Pythagoras:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # nagreresulta sa:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # tulad ng ipinapakita.

Ngayon, isulat ang tatlong pinaka-pangunahing trigonometriko function para sa # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Ngayon kailangan naming gamitin ang mga equation na ito upang malutas para sa iba't ibang mga piraso ng integral argument sa trigonometriko term. Gamitin natin # tantheta #:

# tantheta = x #

Kumuha ng derivatives ng magkabilang panig:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Galing sa # costheta # equation, maaari naming malutas para sa #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Kung aming itataas ang magkabilang panig ng equation na ito sa kapangyarihan ng #3# makakakuha tayo ng:

# sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Ngayon, maaari nating palitan kung ano ang kinakalkula natin sa problema na mahalaga upang i-on ito sa isang trigonometriko na mahalaga:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (red) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (pula) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Ngayon, maaari naming palitan pabalik # sintheta # at ibalik ang aming sagot pabalik sa isang algebraic expression sa mga tuntunin ng # x #:

#color (asul) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #