Paano mo patunayan (1 - kasalanan x) / (1 + kasalanan x) = (seg x + tan x) ^ 2?

Sagot:

Gumamit ng ilang mga pagkakakilanlan ng trig at pasimplehin. Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Naniniwala ako na may isang pagkakamali sa tanong, ngunit hindi mahalaga. Upang magkaroon ng kahulugan, dapat basahin ang tanong:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

Sa alinmang paraan, nagsisimula tayo sa pananalitang ito:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Kapag nagpapatunay ng mga pagkakakilanlan ng trigmata, karaniwang mas mahusay na magtrabaho sa gilid na may maliit na bahagi).

Gumagamit tayo ng isang mahusay na lansihin na tinatawag na conjugate multiplikasyon, kung saan pinarami ang fraction ng denominator conjugate:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Ang conjugate ng # a + b # ay # a-b #, kaya ang conjugate ng # 1 + sinx # ay # 1-sinx #; dumami kami # (1-sinx) / (1-sinx) # upang balansehin ang bahagi.

Tandaan na # (1 + sinx) (1-sinx) # ay talagang isang pagkakaiba ng mga parisukat, na may ari-arian:

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Dito, nakikita natin iyan # a = 1 # at # b = sinx #, kaya:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2 (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Mula sa Pythagorean Identity # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, ito ay sumusunod (pagkatapos pagbabawas # sin ^ 2x # mula sa magkabilang panig), # cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, nagpunta kami # (1-sinx) / (1-sinx) # sa # 1-sin ^ 2x # sa # cos ^ 2x #! Ngayon ang aming problema ay mukhang:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Palawakin natin ang tagabilang:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Tandaan: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Ngayon, bubuwagin natin ang mga fraction:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Paano upang gawing simple na ? Well, tandaan kapag sinabi ko "Tandaan: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Ito ay lumiliko na # sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # Sa katotohanan ay # (secx-tanx) ^ 2 #. Kung hahayaan natin # a = secx # at # b = tanx #, makikita natin na ang pananalitang ito ay:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Alin, tulad ng sinabi ko lang ay katumbas ng # (a-b) ^ 2 #. Palitan # a # may # secx # at # b # may # tanx # at makakakuha ka ng:

# sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

At nakumpleto na namin ang prood:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #