Mayroon bang anumang punto (x, y) sa curve y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, kung saan ang tangent ay kahilera sa x-axis?

Sagot:

Walang ganoong punto, hanggang sa lumakad ang aking matematika.

Paliwanag:

Una, isaalang-alang natin ang mga kondisyon ng padaplis kung ito ay parallel sa # x #-aksis. Dahil ang # x #-axis ay pahalang, anumang parallel na linya sa ito ay dapat ding pahalang; kaya't sumusunod na ang tangyang linya ay pahalang. At, siyempre, ang mga pahalang na tangent ay nangyayari kapag ang hinalaw ay katumbas #0#.

Samakatuwid, dapat munang simulan natin sa pamamagitan ng paghahanap ng pinaghuhula ng napakalaking equation na ito, na maaaring maganap sa pamamagitan ng lubos na pagkita ng kaibhan:

# y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

Gamit ang sum rule, chain rule, produkto rule, quotient rule, at algebra, mayroon kaming:

# d / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

(x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

(x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … iyon ay matinding. Ngayon itinakda namin ang derivative na katumbas ng #0# at tingnan kung ano ang mangyayari.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -ylnx-y = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# y = -1 #

Kagiliw-giliw. Ngayon ipasok natin # y = -1 # at tingnan kung ano ang makuha namin para sa # x #:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Dahil ito ay isang kontradiksyon, tinutuluyan namin na walang mga puntos na nakakatugon sa kundisyong ito.

Sagot:

Walang umiiral na tulad ng isang padaplis.

Paliwanag:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) equiv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Ngayon tumatawag #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # meron kami

#df = f_x dx + f_y dy = (bahagyang u) / (bahagyang x) dx + (bahagyang v) / (bahagyang y) dy = 0 # pagkatapos

(x) x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y + (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) y)) #

Nakita namin iyan # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # ngunit ang mga halaga ay dapat patunayan:

#f (x, y_0) = 0 # at

#f (x_0, y) = 0 #

Sa unang kaso, # y_0 = 1 # meron kami

# x ^ x = -1 # na hindi maaabot sa tunay na domain.

Sa pangalawang kaso, # x_0 = e ^ {- 1} # meron kami

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # o

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

ngunit

# y / (y + 1) log_e y> -1 # kaya walang tunay na solusyon din.

Sa pagtatapos, walang ganitong tangen.

Sagot:

Ang sagot mula sa Dr, Cawa K, x = 1 / e, ay tumpak.

Paliwanag:

Ipinanukala ko ang tanong na ito upang makuha ang halagang ito nang wasto. Salamat kay

Dr, Cawas para sa isang mapagpasyang sagot na nagpapahintulot sa paghahayag na

ang double precision y 'ay nananatiling 0 sa paligid ng agwat na ito. y ay

tuloy at magkakaiba sa x = 1 / e. Tulad ng parehong 17-sd double

katumpakan y at y 'ay 0, sa agwat na ito sa paligid x = 1 / e, ito ay a

haka-haka na hinawakan ng x-axis ang graph sa pagitan. At ngayon, ito ay

pinatunayan. Sa tingin ko na ang touch ay transendental..