Ang isang chord na may haba na 12 ay tumatakbo mula sa pi / 12 hanggang pi / 6 radians sa isang bilog. Ano ang lugar ng lupon?

Sagot:

Ang lugar ng isang bilog ay

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)

Paliwanag:

Ang larawan sa itaas ay sumasalamin sa mga kondisyon na itinakda sa problema. Ang lahat ng mga anggulo (pinalaki para sa mas mahusay na pag-unawa) ay nasa radians bilangin mula sa pahalang X-aksis # OX # pakaliwa.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Kailangan nating makahanap ng isang radius ng isang bilog upang matukoy ang lugar nito.

Alam namin ang kuwerdas na iyon # AB # may haba #12# at isang anggulo sa pagitan ng radiuses # OA # at # OB # (kung saan # O # ay isang sentro ng isang bilog) ay

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Gumawa ng altitude # OH # ng isang tatsulok #Delta AOB # mula sa kaitaasan # O # sa gilid # AB #. Mula noon #Delta AOB # ay isosceles, # OH # ay isang panggitna at isang bisector ng anggulo:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok #Delta AOH #.

Alam namin na ang cathetus # AH = 6 # at anggulo # / _ AOH = pi / 24 #.

Samakatuwid, hypotenuse # OA #, na isang radius ng aming bilog # r #, katumbas ng

# r = OA = (AH) / kasalanan (/ _ AOH) = 6 / kasalanan (pi / 24) #

Alam ang radius, makakakita tayo ng isang lugar:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Ipahayag natin ito nang walang mga trigonometriko function.

Mula noon

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

maaari naming ipahayag ang lugar tulad ng sumusunod:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Isa pang trigonometriko pagkakakilanlan:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Samakatuwid,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Ngayon ay maaari naming kumatawan ang lugar ng isang bilog bilang

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Sagot:

Isa pang paraan ang parehong resulta

Paliwanag:

Ang chord AB ng haba 12 sa figure sa itaas ay tumatakbo mula sa# pi / 12 # sa # pi / 6 # sa bilog ng radius r at sentro ng O, kinuha bilang pinanggalingan.

# / _ AOX = pi / 12 # at # / _ BOX = pi / 6 #

Kaya ang polar coordinate ng A # = (r, pi / 12) # at ng B # = (r, pi / 6) #

Paglalapat ng formula ng distansya para sa coordinate ng polar

ang haba ng chord AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Kaya lugar ng bilog

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #