Y = f (x) ay ibinigay.Graph, y = f (3x) -2 at y = -f (x-1)?

Sagot:

Wala kang graph paper na madaling gamitin - kaya umaasa akong nakatutulong ang paglalarawan!

Paliwanag:

Para sa # y = f (3x) -2 # una pisilin ang ibinigay na graph sa kahabaan ng # x # axis sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng 3 (kaya ang kaliwang kamay minimum, sabihin, ay nangyayari sa # x = -2 / 3 #), at pagkatapos itulak ang buong graph pababa sa pamamagitan ng 2 yunit. Kaya ang minimum na graph ay may minimum na sa #x = -2 / 3 # na may halaga ng # y = -2 #, isang maximum sa #(0,0)# at isa pang minimum sa #(4/3, -4)#

Para sa # y = -f (x-1) # unang ilipat ang graph 1 unit sa tama, pagkatapos ay i-flip itong baligtad! Kaya, ang bagong graph ay ave dalawa maxima sa #(-1,0)# at #(5,2)# at isang minimum sa #(1,-2) #

Sagot:

Narito ang isang mas detalyadong paliwanag

Paliwanag:

Ang mga problema ay mga espesyal na kaso ng isang mas pangkalahatang problema:

Given ang graph para sa # y = f (x) #, ano ang graph ng #y = a f (b x + c) + d # ?

(ang una ay para sa # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, habang ang pangalawa ay para sa # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Susubukan kong ipaliwanag ang sagot sa mga hakbang, sa pamamagitan ng pag-aayos ng problema isang hakbang sa isang pagkakataon. Ito ay magiging isang matagal na sagot - ngunit inaasahan namin na ang pangkalahatang prinsipyo ay magiging malinaw sa pagtatapos nito.

Para sa ilustrasyon gagamitin ko ang isang partikular na curve na pinapakita ko sa ibaba, ngunit ang ideya ay gagana sa pangkalahatan.

(Kung sinuman ay interesado, ang function na ay naka-plot dito ay #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Dahil sa graph para sa # y = f (x) #, ano ang graph ng #y = f (x) + d # ?

Ang isang ito ay madali - ang kailangan mo lang gawin ay tandaan na kung # (x, y) # ay isang punto sa unang graph, pagkatapos # (x, y + d) # ay isang punto sa pangalawang. Nangangahulugan ito na ang pangalawang graph ay mas mataas kaysa sa una sa pamamagitan ng isang distansya # d # (siyempre, kung # d # ay negatibo, ito ay mas mababa kaysa sa unang graph sa pamamagitan ng # | d | #).

Kaya, ang graph ng # y = f (x) + 1 # magiging

Tulad ng iyong nakikita, ang graph para sa #y = f (x) + 1 # (ang solid purple line) ay nakuha sa pamamagitan lamang ng pagtulak ng graph para sa # y = f (x) # (ang kulay-abo na dashed line) up sa pamamagitan ng isang yunit.

Ang graph para sa # y = f (x) -1 # ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagtulak sa orihinal na graph pababa sa isang yunit:

2) Dahil sa graph para sa # y = f (x) #, ano ang graph ng #y = f (x + c) # ?

Madaling makita na kung # (x, y) # ay isang punto sa # y = f (x) # graph, pagkatapos # (x-c, y) # ay isang punto sa #y = f (x + c) # graph. Nangangahulugan ito na maaari mong makuha ang graph ng #y = f (x + c) # mula sa graph ng #y = f (x) # sa pamamagitan lamang ng paglilipat nito sa naiwan sa pamamagitan ng # c # (siyempre, kung # c # ay negatibo, dapat mong ilipat ang orihinal na graph sa pamamagitan ng # | c | # sa kanan.

Bilang isang halimbawa, ang graph para sa # y = f (x + 1) # ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagtulak ng orihinal na graph sa naiwan sa isang yunit:

habang para sa # y = f (x-1) # ay nagsasangkot ng pagtulak sa orihinal na graph sa tama sa isang yunit:

3) Given ang graph para sa # y = f (x) #, ano ang graph ng #y = f (bx) # ?

Mula noon #f (x) = f (b beses x / b) # ito ay sumusunod na kung # (x, y) # ay isang punto sa #y = f (x) # graph, pagkatapos # (x / b, y) # ay isang punto sa # y = f (bx) # graph.

Nangangahulugan ito na ang orihinal na graph ay dapat na kinain sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng # b # kasama ang # x # aksis. Of course, ang squeezing by # b # ay talagang isang lumalawak sa pamamagitan ng # 1 / b # para sa kaso kung saan # 0 <b <1 #

Ang graph para sa # y = f (2x) # ay

Tandaan na habang ang taas ay mananatiling pareho sa 1, ang lapad ay lumiit sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng 2. Sa partikular, ang rurok ng orihinal na curve ay lumipat mula sa # x = 1 # sa # x = 1/2 #.

Sa kabilang banda, ang graph para sa # y = f (x / 2) # ay

Tandaan na ang graph na ito ay dalawang beses bilang malawak (lamutak sa pamamagitan ng #1/2# na katulad ng lumalawak sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng 2), at ang peak ay din inilipat mula sa # x = 1 # sa # x = 2 #.

Ang isang espesyal na pagbanggit ay dapat gawin sa kaso kung saan # b # ay negatibo. Ito ay pinakamahusay na marahil upang pagkatapos ay isipin ito bilang isang dalawang-hakbang na proseso

• Una hanapin ang graph ng # y = f (-x) #, at pagkatapos
• pisilin ang resultang graph sa pamamagitan ng # | b | #

Tandaan na para sa bawat punto # (x, y) # ng orihinal na graph, ang punto # (- x, y) # ay isang punto sa graph ng # y = f (-x) # - kaya ang bagong graph ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpapakita ng lumang isa tungkol sa # Y # aksis.

Bilang isang ilustrasyon ng dalawang hakbang na proseso, isaalang-alang ang graph ng # y = f (-2x) # ipinapakita sa ibaba:

Narito ang orihinal na curve, para sa # y = f (x) # ay unang binaligtad ang tungkol sa # Y # aksis upang makuha ang curve para sa # y = f (-x) # (ang manipis na cyan line). Ito ay pinipigilan ng isang kadahilanan ng #2# upang makuha ang curve para sa # y = f (-2x) # - ang makapal na lilang curve.

4) Dahil sa graph para sa # y = f (x) #, ano ang graph ng #y = af (x) # ?

Ang pattern ay pareho dito - kung # (x, y) # ay isang punto sa orihinal na curve pagkatapos # (x, ay) # ay isang punto sa graph ng # y = af (x) #

Nangangahulugan ito na para sa isang positibo # a #, ang graph ay makakakuha ng stretched sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng # a # kasama ang # Y # aksis. Muli, isang halaga ng # a # sa pagitan ng 0 at 1 ay nangangahulugan na sa halip na i-stretch, ang curve ay talagang pinigilan ng isang kadahilanan ng # 1 / a # kasama ang # Y # aksis.

Ang kurba sa ibaba ay para sa # y = 2f (x) #

Tandaan na habang ang peak ay nasa parehong halaga ng # x # - ang taas nito ay nadoble sa 2 mula sa 1. Siyempre hindi ito ang rurok lamang na naunat - ang # y # coordinate ng bawat punto ng orihinal na curve ay nadoble upang makuha ang bagong curve.

Ang figure sa ibaba ay naglalarawan ng lamuyot na nangyayari kapag #0<>

Muli, ang kaso para sa #a <0 # tumatagal ng espesyal na pangangalaga - at ito ay mas mahusay na kung gagawin mo ito sa dalawang hakbang

1. Unang flip ang curve baligtad tungkol sa # X # aksis upang makuha ang curve para sa # y = -f (x) #
2. I-stretch ang curve sa pamamagitan ng # | a | # kasama ang # Y # aksis.

Ang curve para sa # y = -f (x) # ay

habang ang larawan sa ibaba ay naglalarawan ng dalawang hakbang na kasangkot sa pagguhit ng curve para sa #y = -2f (x) #

Pinagsama ang lahat

Ngayon na kami ay nakaranas ng mga indibidwal na hakbang, ipaalam sa amin ilagay ang lahat ng sama-sama! Ang pamamaraan para sa pagguhit ng curve para sa

# y = a f (bx + c) + d #

simula sa na ng # y = f (x) # ay mahalagang binubuo ng mga sumusunod na hakbang

1. I-plot ang curve ng # y = f (x + c) #: ilipat ang graph sa pamamagitan ng isang distansya # c # pa-kaliwa
2. Pagkatapos ng balangkas ng #y = f (bx + c) #: pisilin ang curve na nakuha mo mula sa hakbang 1 sa # X # direksyon ng kadahilanan # | b | #, (unang flipping ito tungkol sa # Y # axis kung #b <0 #)
3. Pagkatapos ay i-plot ang graph ng # y = af (bx + c) #: sukatin ang curve na nakuha mo mula sa hakbang 2 hanggang sa isang kadahilanan ng # a # sa vertical na direksyon.
4. Sa wakas itulak ang curve na makuha mo sa hakbang 3 up sa pamamagitan ng isang distansya # d # upang makuha ang huling resulta.

Siyempre kailangan mong isagawa ang lahat ng apat na hakbang lamang sa matinding mga kaso - kadalasan ang mas maliit na bilang ng mga hakbang ang gagawin! Gayundin, ang pagkakasunud-sunod ng mga hakbang ay mahalaga.

Kung sakaling ikaw ay nagtataka, sundin ang mga hakbang na ito mula sa katotohanan na kung # (x, y) # ay isang punto sa # y = f (x) # graph, pagkatapos ay ang punto

# ({x-c} / b, ay + d) # ay nasa # y = af (bx + c) + d # graph.

Hayaan akong ilarawan ang proseso sa pamamagitan ng isang halimbawa sa aming pag-andar #f (x) #. Subukan nating buuin ang graph para sa #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Una - ang shift sa kaliwa ng 3 unit

Pagkatapos: kurutin sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng 2 sa kahabaan ng # X # aksis

Pagkatapos, flipping ang graph sa tungkol sa # X # axis at pagkatapos scaling sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng 2 kasama # Y #

Sa wakas, nagbabago ang kurba ng 1 yunit - at tapos na kami!