Test f para sa concavity?

Sagot:

# f # ay umbok sa # RR #

Paliwanag:

Nalutas ito sa tingin ko.

# f # ay 2 times differentiable in # RR # kaya nga # f # at # f '# ay patuloy sa # RR #

Meron kami # (f '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Nakikibahagi sa parehong bahagi na nakukuha natin

# 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '' (x) ((f '(x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # kaya nga #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '' (x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Kailangan namin ang tanda ng numerator upang isaalang-alang namin ang isang bagong function

#g (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , # x ##sa## RR #

#g '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Napansin namin iyon #g '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

Para sa # x = π # #=># #g '(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Para sa # x = -π # # - (- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

Sa wakas ay nakuha namin ang mesa na nagpapakita ng monotony ng # g #

Dapat # I_1 = (- oo, 0 # at # I_2 = 0, oo oo) #

#g (I_1) = g ((- oo, 0)) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3,

#g (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3,

dahil

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

# | sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Gamit ang squeeze / sandwich theorem na mayroon kami

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

Samakatuwid, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

Sa parehong proseso namin end up sa

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Gayunpaman, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Samakatuwid, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Ang hanay ng # g # magiging:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) uug (I_2) = 3, oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # kaya nga # g # ay walang mga ugat sa # RR #

  # g # ay patuloy sa # RR # at walang solusyon. Samakatuwid, # g # pinapanatili ang pag-sign in # RR #

Ibig sabihin

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Kaya, #g (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Ang resulta #g (x)> 0 #, # x ##sa## RR #

At #f '' (x)> 0 #, # x ##sa## RR #

#-># # f # ay umbok sa # RR #

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Given #y = f (x) # Ang curve curve na radius ay ibinigay ng

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # kaya ibinigay

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # meron kami

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # o

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # o

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # o

# 1 = (1 + (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / + 3x ^ 3-sinx + 2) #

ngayon pag-aaral #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # meron kami

#min g (x) = 0 # para sa #x sa RR # kaya nga #g (x) ge 0 # at pagkatapos ay ang kurbada sa

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # ay hindi nagbabago sa pag-sign upang tapusin namin iyon #f (x) # epigraph ay convex sa # RR #