Ano ang kabuuan ng e ^ (x ^ 3)?

Hindi mo maipahayag ang kabuuan na ito sa mga tuntunin ng elementarya na mga function.

Depende sa kung ano ang kailangan mo ng pagsasama para sa, maaari kang pumili ng paraan ng pagsasama o iba pa.

Pagsasama sa pamamagitan ng serye ng kapangyarihan

Alalahanin iyan # e ^ x # ay analytic sa #mathbb {R} #, kaya #forall x in mathbb {R} # ang sumusunod na pagkapantay-pantay ay may hawak

# e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

at ito ay nangangahulugan na

# x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Ngayon ay maaari mong isama ang:

# x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} mabigat} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Pagsasama sa pamamagitan ng Hindi kumpleto Gamma Function

Una, kapalit # t = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Ang pag-andar # e ^ {x ^ 3} # ay tuluy-tuloy. Nangangahulugan ito na ang mga primitive na function nito ay #F: mathbb {R} sa mathbb {R} # tulad na

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

at ito ay mahusay na tinukoy dahil ang pag-andar #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # ay tulad na para sa #t hanggang 0 # hawak nito #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, upang ang di-wastong integral # int_0 ^ s f (t) dt # ay may wakas (tumawag ako # s = -y ^ 3 #).

Kaya mayroon ka na

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Tandaan iyon #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. Nangangahulugan ito na para sa #t sa + mabigat # makuha namin iyon #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, kaya nga # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Kaya ang pagsunod sa hindi tamang integral ng #f (t) # ay may wakas:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3-1} dt = Gamma (1/3).

Pwede tayong magsulat:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

yan ay

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3-1} dt #.

Sa wakas nakukuha namin

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gamma (1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3) #