Saklaw ng e ^ x / ([x] +1), x> 0 at kung saan ang [x] ay tumutukoy sa pinakadakilang integer?

Sagot:

#f: (0, oo) -> (1/2, oo) #

Paliwanag:

Akala ko # x # ay ang pinakamaliit na integer na mas malaki kaysa sa # x #. Sa sumusunod na sagot, gagamitin namin ang notasyon #ceil (x) #, na tinatawag na function na kisame.

Hayaan #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. Mula noon # x # ay mahigpit na mas malaki kaysa sa #0#, nangangahulugan ito na ang domain ng # f # ay # (0, oo) #.

Bilang #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # at mula noon # e ^ x # ay laging positibo, # f # ay palaging mahigpit na mas malaki kaysa sa #0# sa domain nito. Mahalagang tandaan iyan # f # ay hindi injective at hindi din tuloy sa natural na mga numero. Upang patunayan ito, hayaan # n # maging natural na numero:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Dahil #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Katulad nito, #ceil (x) = n #.

# L_n = e ^ n / (n +1) #

Dahil ang mga kaliwa at kanang mga limitasyon sa panig ay hindi katumbas, # f # ay hindi tuloy-tuloy sa integer. Gayundin, #L> R # para sa lahat #n sa NN #.

Bilang # f # ay lumalaki sa mga agwat na hangganan ng mga positibong integer, ang "pinakamaliit na halaga" sa bawat pagitan ay magiging katulad # x # papalapit sa mas mababang nakatali mula sa kanan.

Samakatuwid, ang minimum na halaga ng # f # ay magiging

# X_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Ito ang mas mababang nakatali sa hanay ng # f #.

Bagama't hindi tama ang sinasabi nito # f # ay ang pagtaas, ito ay sa kahulugan, asymptotically, ito ay nalalapit infinity - bilang proved sa ibaba:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Bilang #ceilx> = x #, mayroon nang isang #delta <1 # tulad na # ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Hayaan #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1)

# e ^ u # ay nagdaragdag ng katamtaman habang # u # ay gayon linearly, ibig sabihin na

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Samakatuwid ang saklaw ng # f # ay

# "Saklaw" = (1/2, oo) #

Ang agwat ay bukas sa kaliwa dahil #http: // 2 # Nananatiling #f (0) #, at bilang # x # diskarte #0^+#, #f (x) # tanging paraan lamang #http: // 2 #; hindi ito tunay na katumbas.