Ano ang lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) bilang x papalapit 1 mula sa kanang bahagi?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

graph {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Well, ito ay magiging mas madali kung kinuha lamang namin ang # ln # ng magkabilang panig. Mula noon # x ^ (1 / (1-x)) # ay tuloy-tuloy sa bukas na agwat sa kanan ng #1#, maaari nating sabihin na:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Mula noon #ln (1) = 0 # at #(1 - 1) = 0#, ito ay nasa anyo #0/0# at ang pamantayan ng L'Hopital ay naaangkop:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

At syempre, # 1 / x # ay tuloy-tuloy mula sa bawat panig ng #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Bilang resulta, ang orihinal na limitasyon ay:

#color (asul) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ 1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = kulay (bughaw) (1 / e) #