Sino ang pinakamalaking silindro ng radius, r at taas h na maaaring magkasya sa globo ng radius, R?

Sagot:

Ang pinakamataas na dami ng silindro ay matatagpuan kung pipiliin namin

# r = sqrt (2/3) R #, at #h = (2R) / sqrt (3) #

Ang pagpipiliang ito ay humantong sa isang pinakamataas na dami ng silindro ng:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Paliwanag:

``

Isipin ang isang cross section sa pamamagitan ng sentro ng silindro, at hayaan ang silindro na magkaroon ng taas # h #, at lakas ng tunog # V #, pagkatapos ay mayroon tayo;

# h # at # r # maaaring iba-iba at # R # ay isang pare-pareho. Ang dami ng silindro ay ibinibigay sa pamantayang formula:

# V = pir ^ 2h #

Ang radius ng globo, # R # ay ang hypotenuse ng tatsulok na may panig # r # at # 1 / 2h #, kaya gumagamit ng Pythagoras, mayroon kami:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Maaari naming palitan ito sa aming dami ng equation upang makakuha ng:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Mayroon na tayong lakas ng tunog, # V # bilang isang function ng isang variable # h #, na hinahanap namin upang mapakinabangan ang wrt # h # kaya differentiating wrt # h # nagbibigay sa:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Sa minimum o maximum, # (dV) / (dh) = 0 # kaya:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (malinaw naman gusto namin te + ve root)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Sa halagang ito ng # h # makakakuha tayo ng:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Dapat nating suriin na ang halagang ito ay humahantong sa isang maximum (sa halip na isang maximum) lakas ng tunog, Ginagawa namin ito sa pamamagitan ng pagtingin sa ikalawang nanggaling:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

At bilang #h> 0 # tinatapos natin iyan # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # at ang kritikal na puntong tinutukoy ay humahantong sa pinakamataas na hinahangad.

Samakatuwid, ang pinakamataas na dami ng silindro ay matatagpuan kung pipiliin namin

# r = sqrt (2/3) R #, at #h = (2R) / sqrt (3) #

Sa pagpili na ito makuha namin ang pinakamataas na dami bilang;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

At malinaw naman ang dami ng Sphere ay ibinigay sa pamamagitan ng:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Ito ay isang napaka sikat na problema, na pinag-aralan ng mga Griyego mathematicians paraan bago Calculus ay natuklasan. Ang isang kagiliw-giliw na ari-arian ay ang ratio ng dami ng silindro sa dami ng globo:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Sa ibang salita ang ratio ng mga volume ay ganap na independiyente ng # R #, # r # o # h # na kung saan ay medyo isang lubhang kataka-taka resulta!