(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Let's do it ???

Sagot:

#a = 1, b = 1 #

Paliwanag:

Paglutas ng tradisyonal na paraan

# 1 (a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b -

Ngayon paglutas para sa # a #

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # ngunit # a # dapat totoo kaya ang kondisyon ay

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # o # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

ngayon substituting at paglutas para sa # a #

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # at ang solusyon ay

#a = 1, b = 1 #

Isa pang paraan upang gawin ang parehong

# 1 (a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b -

ngunit

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2 (a-1) (b-1)

at pagtatapos

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2 (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Sagot:

D. May eksaktong isang pares ng solusyon # (a, b) = (1, 1) #

Paliwanag:

Ibinigay:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Tandaan na maaari naming gawin ito sa isang magaling na simetriko homogeneous problema sa pamamagitan ng generalising sa:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

pagkatapos ay itakda # c = 1 # sa dulo.

Pagpapalawak ng magkabilang panig ng pangkalahatang problema na ito, mayroon kami:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Ang pagbabawas sa kaliwang bahagi mula sa magkabilang panig, makakakuha tayo ng:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (white) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (white) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Para sa mga tunay na halaga ng # a #, # b # at # c #, maaari lamang itong mahawakan kung ang lahat ng # (a-b) #, # (b-c) # at # (c-a) # ay zero at kaya:

#a = b = c #

Pagkatapos ay ilagay # c = 1 # nakita natin ang tanging solusyon sa orihinal na problema, katulad # (a, b) = (1, 1) #