Pasimplehin ang lahat: 1 - 2sin ^ 2 20 °?

Alalahanin iyan

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

Kaya naman

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

Samakatuwid ang aming pagpapahayag ay katumbas ng #cos (40) #.

Sana ay makakatulong ito!

Sagot:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

Paliwanag:

"Ganap na" ay isang malabo na layunin sa trig, tulad ng makikita natin.

Una, ang punto ng problemang ito ay upang kilalanin ang sine form ng cosine double angle formula:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos theta cos theta - sin theta sin theta ## = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta = (1- sin ^ 2 theta) - sin ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 sin ^ 2 theta #

Nagsusulat ito para sa # theta = 20 ^ circ #, #cos (2 (20 ^ circ)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

Siguro #cos 40 ^ circ # ay ang resulta "ganap na pinagaan."

Iyan ang sagot. Nagmungkahi si Monzur na magbigay ako ng caveat bago ang susunod na bahagi. Ito ay ganap na opsyonal; mangyaring panatilihin ang pagbabasa kung gusto mong malaman ang higit pa tungkol sa #cos 40 ^ circ # at itigil ang pagbabasa kung wala ka.

#cos 40 ^ circ # ay ganap na pinasimple, dahil wala talagang mas mahusay na expression na maaari naming isulat para dito kaysa #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ circ # ay hindi constructible sa isang straightedge at compass. Nangangahulugan ito na ang mga function ng trigy nito ay hindi resulta ng mga integer na binubuo ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at dibisyon at mga square root.

#cos 40 ^ circ # ay talagang ang ugat ng isang polinomyal na equation na may integer coefficients. # theta = 40 ^ circ # natutugunan ang equation #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #. Kung #x = cos theta, # iyan #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # kung saan ang # T #s ang Chebyshev polynomials ng unang uri. Sa halip na ang double at triple angle formula, ang mga ito ay ang 44 beses at 46 beses na mga formula ng anggulo.

Kaya #cos (40 ^ circ) # ay isa sa apatnapu't anim na ugat ng:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Iyon ay hindi simple sa lahat.