Paano malutas ang pagsasama?

Sagot:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Area" = 117/4 #

Paliwanag:

Q ay ang x-intercept ng linya # 2x + y = 15 #

Upang mahanap ang puntong ito, hayaan # y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

Kaya # Q = (15 / 2,0) #

P ay isang punto ng pagharang sa pagitan ng curve at ang linya.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# sa #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # o # x = 3 #

Mula sa graph, ang x co-ordinate ng P ay positibo, upang maaari naming tanggihan # x = -5 #

# x = 3 #

# y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

graph {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Ngayon para sa lugar

Upang mahanap ang kabuuang lugar ng rehiyong ito, maaari kaming makahanap ng dalawang lugar at idagdag ang mga ito nang sama-sama.

Ang mga ito ang magiging lugar sa ilalim # y = x ^ 2 # mula 0 hanggang 3, at ang lugar sa ilalim ng linya mula 3 hanggang 15/2.

# "Area under curve" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Maaari naming maisagawa ang lugar ng linya sa pamamagitan ng pagsasama, ngunit mas madali itong gamutin tulad ng isang tatsulok.

# "Area sa ilalim ng linya" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#: "total area of shaded region" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Sagot:

Para sa 3 at 4

Tapos ni Tom 10

Paliwanag:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Sagot:

Tingnan sa ibaba:

Babala: Mahabang sagot!

Paliwanag:

Para sa (3):

Gamit ang ari-arian:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Kaya:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Para sa (4):

(parehas na bagay)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Gayunpaman, dapat nating ipalitan ang mga limitasyon sa kabuuan, kaya:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Kaya:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Para sa 10 (a):

Mayroon kaming dalawang function na intersecting sa # P #, kaya sa # P #:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(Binuksan ko ang function ng linya sa slope-intercept form)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

Kaya # x = 3 # bilang namin sa kanan ng # y # axis, kaya #x> 0 #.

(inputting # x = 3 # sa alinman sa mga pag-andar)

# y = -2x + 15 #

# y = -2 (3) + 15 #

# y = 15-6 = 9 #

Kaya ang coordinate ng # P # ay #(3,9)#

Para sa # Q #, Ang linya # y = -2x + 15 # Pinutol ang # y #-kaya, kaya # y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7.5 #

Kaya # Q # ay matatagpuan sa #(7.5, 0)#

Para sa 10 (b).

Magtatayo ako ng dalawang integral upang mahanap ang lugar. Hiwalay ko ang mga integral.

Ang lugar ay:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Solve first integral)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(palitan ang mga limitasyon sa pinagsamang expression, tandaan:

Upper-lower limit upang mahanap ang halaga ng integral)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(malutas ang pangalawang integral)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7.5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(mga limitasyon ng kapalit: Upper-lower)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #