Paano mo nahanap ang limitasyon ng (arctan (x)) / (5x) bilang x approaches 0?

Sagot:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Paliwanag:

Upang mahanap ang limitasyon na ito, pansinin na ang parehong numerator at denominator ay pumunta sa #0# bilang # x # diskarte #0#. Nangangahulugan ito na makakakuha tayo ng walang katiyakan na form, sa gayon maaari naming ilapat ang panuntunan ng L'Hospital.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Sa pamamagitan ng paglalapat ng panuntunan ng L'Hospital, kinukuha namin ang pinaghuhula ng tagabilang at denamineytor, na nagbibigay sa amin

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Maaari rin naming suriin ito sa pamamagitan ng pag-graph ng function, upang makakuha ng isang ideya kung ano # x # diskarte.

Graph ng #arctan x / (5x) #:

graph {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

Sagot:

Ang isang mas malawak na diskarte gamit ang trig ay ipinaliwanag sa ibaba.

Paliwanag:

Kung sakaling hindi ka komportable sa Rule ng L'Hopital, o hindi pa nalantad dito, isa pang diskarte sa paglutas ng problema ay nagsasangkot sa paggamit ng kahulugan ng pag-andar ng pag-iingat.

Tandaan na kung # tantheta = x #, pagkatapos # theta = arctanx #; ito ay mahalagang nangangahulugan na ang arctangent ay ang kabaligtaran ng padaplis. Gamit ang impormasyon na ito, maaari naming bumuo ng isang tatsulok kung saan # tantheta = x # at # theta = arctanx #:

Mula sa diagram, malinaw na iyan # tantheta = x / 1 = x #. Mula noon # tantheta = sintheta / costheta #, maaari naming ipahayag ito bilang:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Gamit ito plus ang katotohanan na # theta = arctanx #, maaari kaming gumawa ng mga kapalit sa limitasyon:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Katumbas ito sa:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

Alam namin iyan #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; kaya nga #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # o #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. At dahil # cos0 = 1 #, ang limitasyon ay sinusuri sa:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#