Ano ang kabuuan ng sqrt (9-x ^ 2)?

Tuwing nakikita ko ang mga ganitong uri ng mga pag-andar, kinikilala ko (sa pamamagitan ng maraming pagsasanay) na dapat mong gamitin ang isang espesyal na pagpapalit dito:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Ito ay maaaring magmukhang isang kakaibang pagpapalit, ngunit makikita mo kung bakit ginagawa namin ito.

#dx = 3cos (u) du #

Palitan ang bawat isa sa kabuuan:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Maaari naming dalhin ang 3 mula sa mahalaga:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Maaari mong kadalasan ang 9 out:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Alam namin ang pagkakakilanlan: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Kung malutas natin # cosx #, makakakuha tayo ng:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Ito ay eksakto kung ano ang nakikita natin sa kabuuan, upang mapalitan natin ito:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Maaari mong malaman ang isang ito bilang isang pangunahing antiderivative, ngunit kung hindi mo, maaari mong malaman ito tulad ng ito:

Ginagamit namin ang pagkakakilanlan: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (maaari mong gawin ito sa pamamagitan ng pagpapalit)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Ngayon, ang kailangan nating gawin ay ilagay # u # sa pagpapaandar. Tingnan natin kung paano natin ito tinukoy:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Upang makakuha # u # mula sa mga ito, kailangan mong kunin ang kabaligtaran function ng # sin # sa magkabilang panig, ito ay # arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Ngayon kailangan naming ipasok ito sa aming solusyon:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

Ito ang huling solusyon.