Paano mo nahanap ang MacLaurin's Formula para sa f (x) = sinhx at gamitin ito sa tinatayang f (1/2) sa loob ng 0.01?

Sagot:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

Paliwanag:

Alam namin ang kahulugan para sa #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Dahil alam namin ang serye ng Maclaurin para sa # e ^ x #, maaari naming gamitin ito upang makagawa ng isa para sa #sinh (x) #.

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Maaari naming mahanap ang serye para sa # e ^ -x # sa pamamagitan ng pagpapalit # x # may # -x #:

# e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Maaari naming ibawas ang dalawang ito mula sa bawat isa upang mahanap ang tagabilang ng # sinh # kahulugan:

#color (white) (- e ^ -x.) e ^ x = color (white) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

#color (white) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# e ^ xe ^ -x = kulay (puti) (lllllllll) 2xcolor (puti) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) kulay (puti) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Maaari naming makita na ang lahat ng mga termino kanselahin at ang lahat ng mga kakaibang mga tuntunin doble. Maaari naming kumatawan ang pattern na ito tulad nito:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Upang makumpleto ang #sinh (x) # serye, kailangan lang nating hatiin ito sa pamamagitan ng #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1)

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Ngayon gusto naming kalkulahin #f (1 / / 2) # na may katumpakan ng hindi bababa sa #0.01#. Alam namin ang pangkalahatang anyo ng error na Lagrange na nakatali para sa isang nth degree taylor polynomial tungkol sa # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # kung saan # M # ay isang itaas na nakatali sa nth na hinalaw sa pagitan mula sa # c # sa # x #.

Sa aming kaso, ang paglawak ay isang serye ng Maclaurin, kaya # c = 0 # at # x = 1 / / 2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Ang mas mataas na derivatives ng order ng #sinh (x) # ay magiging alinman #sinh (x) # o #cosh (x) #. Kung isaalang-alang natin ang mga kahulugan para sa kanila, nakikita natin iyan #cosh (x) # ay laging mas malaki kaysa sa #sinh (x) #, kaya dapat nating gawin ang # M #-bound para sa #cosh (x) #

Ang hyperbolic cosine function ay palaging nagtataas, kaya ang pinakamalaking halaga sa pagitan ay magiging #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Ngayon kami plug ito sa Lagrange error nakatali:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n +1) #

Gusto namin # | R_n (x) | # upang maging mas maliit kaysa sa #0.01#, kaya sinubukan natin ang ilan # n # mga halaga hanggang sa makuha namin sa puntong iyon (ang mas mababang halaga ng mga termino sa polinomyal, mas mahusay). Nakita namin iyon # n = 3 # ay ang unang halaga na magbibigay sa amin ng isang error na nakatali mas maliit kaysa sa #0.01#, kaya kailangan nating gumamit ng isang 3rd degree taylor polynomial.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0.52 #