Sagot:
#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = 1/2 #
Paliwanag:
Sumulat ang dalawang termino:
# 1 / x-1 / (e ^ x-1) = (x-e ^ x + 1) / (x (e ^ x-1)) #
Ang limitasyon ay nasa walang katapusang form #0/0# kaya maaari naming ilapat ngayon ang lehislasyon ng Hospital:
#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x + 1-x) (d / dx x (e ^ x-1)) #
(x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x-1) / (e ^ x-1 + xe ^ x) #
at bilang ito ay hanggang sa form #0/0# pangalawang pagkakataon:
#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1) / dx (e ^ x-1 + xe ^ x)) #
(x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (e ^ x + xe ^ x + e ^ x) #
(x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (x + 2) = 1/2 #
graph {1 / x-1 / (e ^ x-1) -10, 10, -5, 5}
