X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 ay may isang ugat x = sqrt (2) + sqrt (3). Ano ang iba pang tatlong pinagmulan at bakit?

Sagot:

Ang iba pang tatlong pinagmulan ay #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # at #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Tulad ng kung bakit, hayaan mo akong sabihin sa iyo ang isang kuwento …

Paliwanag:

Si Rational ay nakatira sa bayan ng Algebra.

Alam niya ang lahat ng mga numero ng form # m / n # kung saan # m # at # n # ay integer at #n! = 0 #.

Siya ay lubos na masaya paglutas ng mga polynomials tulad ng # 3x + 8 = 0 # at # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, ngunit maraming mga palaisipan sa kanya.

Kahit na isang tila simple polinomyal tulad # x ^ 2-2 = 0 # tila hindi na mababago.

Ang kanyang mayaman na kapitbahay, si Mr Real, ay nakakaawa sa kanya. "Ang kailangan mo ay tinatawag na square root ng #2#. Dito ka pumunta. "Gamit ang mga salitang ito, si Ginoong Real ay nagtagumpay sa isang mahiwagang makintab na asul na numero na tinatawag # R_2 # sa Mr Rational. Lahat siya ay sinabi tungkol sa bilang na ito ay na # R_2 ^ 2 = 2 #.

Mr Rational napupunta pabalik sa kanyang pag-aaral at may isang play na may ganitong mahiwaga # R_2 #.

Makalipas ang isang sandali ay natagpuan niya na maaari niyang idagdag, ibawas, multiply at hatiin ang mga numero ng form # a + b R_2 # kung saan # a # at # b # ay makatuwiran at may mga numero ng parehong form. Napansin din niya iyon # x ^ 2-2 = 0 # May isa pang solusyon, katulad # -R_2 #.

Hindi na niya malutas ngayon # x ^ 2-2 = 0 #, ngunit # x ^ 2 + 2x-1 = 0 # at marami pang iba.

Maraming iba pang mga polynomials pa rin umiiwas solusyon. Halimbawa, # x ^ 2-3 = 0 #, ngunit ang Mr Real ay masaya na magbigay sa kanya ng isang makintab berdeng numero na tinatawag na # R_3 # na solves na ang isa.

Ang Rational sa lalong madaling panahon na nahahanap na maaari niyang ipahayag ang lahat ng mga numero na maaari niyang gawin bilang # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, kung saan # a #, # b #, # c # at # d # ay makatuwiran.

Isang araw Mr Rational ay may isang pumunta sa paglutas # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. Natagpuan niya iyon # x = R_2 + R_3 # ay isang solusyon.

Bago siya tumitingin ng higit pang mga solusyon, siya ay bumagsak sa kanyang kapitbahay, si Mr Real. Siya salamat Mr Real para sa regalo ng # R_2 # at # R_3 #, ngunit may tanong tungkol sa mga ito. "Nakalimutan kong magtanong:", sabi niya, "Positibo ba sila o negatibo?". "Hindi ko iniisip na gusto mo.", Sabi ni Mr Real. "Hangga't nilulutas mo ang mga polynomial na may makatuwirang mga coefficients, hindi talaga ito bagay. Ang mga patakaran na iyong natagpuan para sa pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng iyong mga bagong numero ay gumagana rin ng alinman sa. tinawag # R_2 # ang tinatawag ng karamihan sa mga tao # -sqrt (2) # at ang tinawag mo # R_3 # ang tinatawag ng karamihan sa mga tao #sqrt (3) #'.

Kaya para sa mga bagong numero ng Mr Rational ng form # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # hindi mahalaga kung # R_2 # at / o # R_3 # ay positibo o negatibo mula sa punto ng view ng paglutas ng mga polynomial na may nakapangangatwiran na coefficients.