Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 sa ibang pagkakataon t = t_1, ang phi_n ay mga eigenfunctions ng enerhiya ng walang katapusang potensyal na mahusay. Iulat ang sagot sa mga tuntunin ng E_0?

Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 sa ibang pagkakataon t = t_1, ang phi_n ay mga eigenfunctions ng enerhiya ng walang katapusang potensyal na mahusay. Iulat ang sagot sa mga tuntunin ng E_0?
Anonim

Well, nakakuha ako # 14 / 5E_1 #… at ibinigay ang iyong pinili na sistema, hindi ito maaaring muling ipahayag sa mga tuntunin ng # E_0 #.

Maraming mga tuntunin ng mekanika ng quantum na nasira sa tanong na ito …

  • Ang # phi_0 #, dahil kami ay gumagamit ng mga walang katapusang potensyal na mahusay na solusyon, nawala awtomatikong … #n = 0 #, kaya #sin (0) = 0 #.

At para sa konteksto, ipinaalam namin #phi_n (x) = sqrt (2 / L) kasalanan ((npix) / L) #…

  • Ito ay imposible upang isulat ang sagot sa mga tuntunin ng # E_0 # dahil #n = 0 # HINDI umiiral para sa walang-katapusang potensyal na maayos. Maliban kung gusto mo ang maliit na butil maglaho , Dapat kong isulat ito sa mga tuntunin ng # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…

  • Ang enerhiya ay palaging ng paggalaw, ibig sabihin. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

At ngayon…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L)

Ang halaga ng pag-asa ay pare-pareho ng paggalaw, kaya hindi namin pinapahalagahan kung anong oras # t_1 # pinili namin. Kung hindi, ito ay hindi isang konserbatibo sistema …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # para sa ilang #n = 1, 2, 3,… #

Sa katunayan, alam na natin kung ano ang nararapat, dahil ang Hamiltonian para sa isa-dimensional na walang katapusang potensyal na mahusay ay oras-INDEPENDENT …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

at ang # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # pumunta sa 1 sa mahalaga:

#color (blue) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

kung saan namin ipaalam #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Muli, ang lahat ng mga kadahilanan ng kanser ay kanselahin, at tandaan namin na ang mga tuntunin ng off-dayagonal ay naging zero dahil sa orthogonality ng # phi_n #.

Ang denamineytor ay ang pamantayan ng # Psi #, na kung saan ay

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Samakatuwid, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Nagbibigay ito ng:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) kanselahin (e ^ (iE_1t_http: // ℏ) (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) kanselahin (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / (2) / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) kasalanan ((2pix) / L) kanselahin (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5/6) #

Ilapat ang mga derivatives:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 kasalanan ((2pix) / L) dx #

Ang mga Constant ay lumulutang:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) (2) L * sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

At ang mahalagang bahagi na ito ay kilala para sa pisikal na mga dahilan upang maging kalahati sa pagitan #0# at # L #, independiyenteng ng # n #:

(2 / L) 2/2/2 (4 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = kulay (asul) (14/5 E_1) #

Sagot:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Paliwanag:

Ang bawat nakapirming estado na naaayon sa enerhiya eigenvalue # E_n # Pinipili ng isang yugto ng yugto #e ^ {- iE_n t} # sa ebolusyon ng panahon. Ang ibinigay na estado ay hindi isang nakapirming estado - dahil ito ay ang superposisyon ng enerhiya eigenstates na kabilang sa iba't ibang mga eigenvalues. Bilang isang resulta, ito ay magbabago sa oras sa isang hindi-maliit paraan. Gayunpaman, ang equation ng Schroedinger na sumasaklaw sa ebolusyon ng mga estado ng panahon ay pare-pareho - upang ang bawat sangkap ng enerhiya na eigenfunction ay nagbabago nang hiwalay - ang pagpili ng sarili nitong bahagi na kadahilanan.

Kaya, ang panimulang alon-function

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x)

nagbabago sa oras # t # sa

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Kaya, ang halaga ng inaasahan ng enerhiya sa oras # t # ay binigay ni

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) hat {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) beses (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

kung saan ginamit namin ang katunayan na ang #phi_i (x) # ay mga eigenfunctions ng enerhiya, kaya na #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Ito ay nagbibigay pa rin sa amin ng siyam na mga tuntunin. Gayunpaman, ang pinal na pagkalkula ay pinasimple ng maraming sa pamamagitan ng ang katunayan na ang enerhiya eigenfunctions ay ortho-normalized, i.e. sumunod sila

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Nangangahulugan ito na ang siyam na integral, tatlo lamang ang nabubuhay, at nakakuha tayo

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Gamit ang karaniwang resulta na iyon #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, meron kami # E_1 = 4E_0 # at # E_2 = 9E_0 # para sa isang walang hanggan potensyal na mahusay (maaari kang maging mas ginagamit sa isang expression na nagsasabing #E_n propto n ^ 2 # para sa isang walang katapusang mahusay - ngunit sa mga ito ang lupa estado ay may label na # E_1 # - Narito kami ay naka-label ito # E_0 # - kaya ang pagbabago). Kaya naman

# <E> = (1/6 beses 1 + 1/3 beses 4 + 1/2 beses 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Tandaan:

  1. Habang ang eigenfunctions ng enerhiya ng bawat indibidwal ay nagbabago sa oras sa pamamagitan ng pagkuha ng isang yugto ng yugto, ang pangkalahatang pag-andar ng alon ay hindi naiiba mula sa unang isa sa pamamagitan lamang ng isang kadahilanan na bahagi - ito ang dahilan kung bakit ito ay hindi na isang nakapirming estado.
  2. Ang mga integral na kasangkot ay tulad ng

    # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} times int_-infty ^ mabigat psi_i (x) psi_j (x) dx #

    at ang mga hitsura na ito ay depende sa oras. Gayunpaman, ang tanging mga integral na nakataguyod ay ang para sa # i = j # - at ang mga ito ay tiyak na ang mga kung saan ang oras umaasa kanselin.

  3. Ang mga huling resulta ay naaangkop sa katotohanang iyon #hat {H} # ay na-conserved - kahit na ang estado ay hindi isang nakapirming estado - ang halaga ng pag-asa ng enerhiya ay walang oras.
  4. Ang orihinal na pag-andar ng wave ay na-normal na dahil # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # at ang normalisasyon na ito ay napanatili sa ebolusyon ng panahon.
  5. Maaari naming pinutol ang maraming trabaho kung ginawa namin ang paggamit ng isang standard na resultang mekanikal na kabuuan - kung ang isang pagpapaandar ng alon ay pinalawak sa anyo #psi = sum_n c_n phi_n # kung saan ang # phi_n # ay mga eigenfunctions ng isang Hermitian operator #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, pagkatapos # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, ibinigay, siyempre na ang mga estado ay maayos na naayos.
Calculus
Pagpili ng editor