Tanong # 90cf3 + Halimbawa

Sagot:

Upang mahanap ang mga ugat ng mga equation na tulad ng # e ^ x = x ^ 3 #, Inirerekumenda ko na gumamit ka ng recursive na paraan ng pag-aaral sa bilang, na tinatawag na Paraan ng Newton

Paliwanag:

Gumawa tayo ng halimbawa.

Upang gamitin ang pamamaraan ni Newton, isulat mo ang equation sa form #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Compute #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Dahil ang paraan ay nangangailangan na gawin namin ang parehong pagtutuos maraming beses, hanggang sa ito converges, inirerekumenda ko na gumamit ka ng isang Excel spreadsheet; ang natitirang bahagi ng aking sagot ay maglalaman ng mga tagubilin kung paano ito gagawin.

Magpasok ng isang mahusay na hula para sa x sa cell A1. Para sa equation na ito, papasok ako 2.

Ipasok ang sumusunod sa cell A2:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Mangyaring pansinin na ang nasa itaas ay wika ng Excel na spreadsheet para sa

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Kopyahin ang mga nilalaman ng cell A2 sa A3 sa pamamagitan ng A10. Pagkatapos ng 3 o 4 recursions, maaari mong makita na ang paraan ay converged sa

#x = 1.857184 #

Sagot:

Maaari naming gamitin ang Intermediate Value Theorem upang makita na ang bawat pares ay may hindi bababa sa isang punto ng intersection.

Paliwanag:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # ay tuloy-tuloy sa buong totoong linya.

Sa # x = 0 #, meron kami #f (0) = 1 #.

Sa # x = -1 #, meron kami #f (-1) = 1 / e-1 # na kung saan ay negatibo.

# f # ay patuloy #-1,0#, kaya mayroong hindi bababa sa isa # c # sa #(-1,0)# may #f (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x-x ^ 3 # ay tuloy-tuloy sa buong totoong linya.

Sa # x = 0 #, meron kami #g (0) = 1 #.

Sa # x = 2 #, meron kami #g (2) = e ^ 2-8 # na kung saan ay negatibo.

(Tandaan na # e ^ 2 ~~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# g # ay patuloy #0,2#, kaya mayroong hindi bababa sa isa # c # sa #(0,2)# may #g (c) = 0 #.