Lutasin ang tanong 39?

Sagot:

B

Paliwanag:

Una, dapat nating gamitin ang katotohanan na ang mga numero ay dapat magkasunod, sa pamamagitan ng pagtawag sa mga bilang na pinili natin # n-1, n, n + 1 #, kung saan tayo sumunod sa mga hadlang # n # dapat sa pagitan #-9# at #9# kasama.

Pangalawa, mapansin na kung makakuha kami ng isang tiyak na halaga para sa isang tiyak na # a, b, c #, maaari naming magpalitan sa mga tukoy na halaga, ngunit nakakuha pa rin ng parehong resulta. (Naniniwala ako na ito ay tinatawag na pagiging madaling maunawaan ngunit kalimutan ang tamang term)

Kaya maaari naming ipaalam lamang # a = n-1 #,# b = n #,# c = n + 1 #, ngayon kami ay mag-plug ito sa:

# (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (a + b + c) ^ 2 #

(n-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (n ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (n ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Ngayon ang aming problema ay upang makita kung ano ang mga halaga ng # -9 <= n <= 9 # ang expression ay nagbibigay ng isang integer halaga, kung ilang mga iba't ibang mga halaga na nakukuha namin.

Ipagpatuloy ko ang solusyon sa isang hiwalay na sagot para lang mas madaling basahin.

Sagot:

Bahagi 2 ng aking sol. Ito ay gumagamit ng modular arithmetic, ngunit kung hindi ka pamilyar sa mga ito pagkatapos ay palaging ang pagpipilian ng subbing sa lahat ng kinakailangang mga halaga ng # n #

Paliwanag:

Dahil ang expression ay dapat na isang halaga ng integer, ang ibaba ay dapat hatiin ang nangungunang eksakto. Kaya, ang numerator ay dapat magkaroon ng isang kadahilanan ng 3. At para sa mga ito dapat naming gamitin modular aritmetika.

Suriin kung saan n nasiyahan: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Ngayon casework:

1. Sinusubukan namin # n = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, na hindi gumagana

2. Sinusubukan namin # n = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, na gumagana

3. Sinusubukan namin # n = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, na hindi gumagana

Kaya binabanggit natin iyon # n # ay dapat na sa form # 3k + 1 #, o isa pa kaysa sa isang maramihang ng 3. Isinasaalang-alang ang aming hanay para sa n, pagiging # -9 <= n <= 9 #, mayroon kaming posibleng mga halaga ng:

# n = -8, -5, -2,1,4,7 #.

Sa puntong ito maaari mong gamitin ang katotohanang iyon # n = 3k + 1 #, ngunit may lamang 6 na halaga upang suriin ko nagpasya na sa halip na kalkulahin ang bawat isa sa halip, at ang tanging halaga para sa # n # na gumagana ay # n = 1 #, na gumagawa ng resulta ng #1#.

Kaya sa wakas, ang tanging set ng magkakasunod na mga numero na gumagawa ng isang resulta ng integer ay #0,1,2#, pagbibigay #1# kaya ang sagot ay # B #