Sagot:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2)
Paliwanag:
Para sa mga problemang ito upang magkaroon ng kahulugan # 4-9x ^ 2> = 0 #, kaya # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. Kaya maaari naming pumili ng isang # 0 <= u <= pi # tulad na # x = 2 / 3cosu #. Gamit ito, maaari naming ibahin ang variable na x sa integral gamit # dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # dito ginagamit namin iyon # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # at para sa # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Ngayon ginagamit namin ang pagsasama ng mga bahagi upang mahanap # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Samakatuwid # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Kaya natagpuan namin #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, ngayon ay pinalitan namin # x # bumalik para sa # u #, gamit # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, kaya # / x / 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Maaari naming higit pang pasimplehin ito sa pamamagitan ng paggamit ng kahulugan ng sines at cosines sa mga tuntunin ng triangles. Para sa isang tamang tatsulok na may anggulo # u # sa isa sa mga di-kanang sulok, # sinu = "kabaligtaran panig" / "pinakamahabang gilid" #, habang # cosu = "katabi gilid" / "pinakamahabang gilid" #, dahil alam natin # cosu = (3x) / 2 #, maaari naming piliin ang katabing bahagi upang maging # 3x # at ang pinakamahabang panig #2#. Gamit ang teorama ng Pythagoras, nakita namin ang kabaligtaran na bahagi #sqrt (4-9x ^ 2) #, kaya #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Samakatuwid #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2).
