Ano ang teorama ng DeMoivre? + Halimbawa

Ang DeMoivre's Theorem ay lumalawak sa formula ni Euler:

# e ^ (ix) = cosx + isinx #

Sinasabi ng teorama ni DeMoivre na:

• # (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (i nx) = cos (nx) + isinam (nx) #
• #cos (nx) + isinisin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #

Halimbawa:

#cos (2x) + isinisin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #

Gayunpaman, # i ^ 2 = -1 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #

Paglutas para sa tunay at haka-haka na mga bahagi ng # x #:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

Paghahambing sa #cos (2x) + isinama (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

Ito ang mga double angle formula para sa # cos # at # sin #

Ito ay nagpapahintulot sa amin na palawakin #cos (nx) # o #sin (nx) # sa mga tuntunin ng kapangyarihan ng # sinx # at # cosx #

Ang teorama ni DeMoivre ay maaaring dalhin pa:

Given # z = cosx + isinx #

# z ^ n = cos (nx) + isinama (nx) #

#z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isinisin (nx)) #

(x) (cos (nx) -isin (nx)) / (cos (nx) -isin (nx)) = (cos (nx)) -isin (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -isin (nx) #

# z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# z ^ n-z ^ (- n) = 2isin (nx) #

Kaya, kung nais mong ipahayag # sin ^ nx # sa mga tuntunin ng maramihang anggulo ng # sinx # at # cosx #:

# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #

Palawakin at simpleng, pagkatapos ay i-input ang mga halaga para sa # z ^ n + z ^ (- n) # at # z ^ n-z ^ (- n) # kung saan kinakailangan.

Gayunpaman, kung ito ay kasangkot # cos ^ nx #, gagawin mo nga # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # at sundin ang mga katulad na hakbang.