Sagot:
# dy / dx = -20 / 21 #
Paliwanag:
Kakailanganin mong malaman ang mga pangunahing kaalaman ng paliwanag para sa problemang ito.
Alam namin ang slope ng tangent line sa isang punto ay ang hinangong; kaya ang unang hakbang ay ang kumuha ng hinangong. Let's gawin ito piraso sa pamamagitan ng piraso, na nagsisimula sa:
# d / dx (3y ^ 2) #
Ang isang ito ay hindi masyadong matigas; kailangan mo lamang ilapat ang tuntunin ng kadena at tuntunin ng kapangyarihan:
# d / dx (3y ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Ngayon, papunta # 4xy #. Kakailanganin namin ang kapangyarihan, kadena, at mga panuntunan ng produkto para sa isang ito:
# d / dx (4xy) #
# -> 4d / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Patakaran ng produkto: # d / dx (uv) = u'v + uv '#
# = 4 (y + xdy / dx) #
# = 4y + 4xdy / dx #
Oo, sa wakas # x ^ 2y # (higit pang produkto, kapangyarihan, at mga panuntunan ng chain):
# d / dx (x ^ 2y) #
# = (x ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2xy + x ^ 2dy / dx #
Ngayon na natagpuan namin ang lahat ng aming mga derivatives, maaari naming ipahayag ang problema bilang:
# d / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
(Tandaan ang hinango ng isang pare-pareho ay #0#).
Ngayon nakolekta namin ang mga tuntunin sa # dy / dx # sa isang gilid at ilipat ang lahat ng iba pa sa iba pang mga:
# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2dy / dx = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
Ang lahat ng natitiraang gawin ay plug in #(2,5)# upang mahanap ang aming sagot:
# dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
# 4/5 (2) (5) + (2)
# dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
