Paano mo isama ang int sec ^ -1x sa pagsasama ng paraan ng bahagi?

Sagot:

Ang sagot ay # = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Paliwanag:

Kailangan namin

# (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Ang pagsasama ng mga bahagi ay

# intu'v = uv-intuv '#

Narito, mayroon kami

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "arc" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Samakatuwid, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Gawin ang pangalawang integral sa pamamagitan ng pagpapalit

Hayaan # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Hayaan # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

Kaya, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Sa wakas, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Sagot:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Paliwanag:

Bilang kahalili, maaari naming gamitin ang isang maliit na kilalang pormula para sa pagtatrabaho ng mga integral ng mga kabaligtarang function. Ang formula ay nagsasaad:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

kung saan # f ^ -1 (x) # ay ang kabaligtaran ng #f (x) # at #F (x) # ay ang anti-pinaghihiwalay ng mga #f (x) #.

Sa aming kaso, nakukuha namin ang:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Ngayon ang lahat ng kailangan nating gawin ay ang anti-derivative # F #, na kung saan ay ang pamilyar na mahalagang bahagi:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Ang pag-plug na ito pabalik sa formula ay nagbibigay sa aming pangwakas na sagot:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)

Kailangan nating maging maingat tungkol sa pagpapasimple #tan (sec ^ -1 (x)) # sa #sqrt (x ^ 2-1) # dahil ang pagkakakilanlan ay wasto lamang kung # x # ay positibo. Kami ay masuwerteng, gayunpaman, dahil maaari naming ayusin ito sa pamamagitan ng paglagay ng lubos na halaga sa ibang termino sa loob ng logarithm. Tinatanggal din nito ang pangangailangan para sa unang ganap na halaga, dahil ang lahat ng bagay sa loob ng logarithm ay laging positibo:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #