Kung ang 3x ^ 2-4x + 1 ay may zero na alpha at beta, pagkatapos ay kung ano ang parisukat ay may zeros alpha ^ 2 / beta at beta ^ 2 / alpha?

Sagot:

Hanapin # alpha # at # beta # una.

Paliwanag:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Ang mga kadahilanan sa kaliwang bahagi, sa gayon ay mayroon tayo

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Nang walang pagkawala ng karaniwan, ang mga ugat ay #alpha = 1 # at #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # at #(1/3)^2/1= 1/9#.

Ang isang polinomyal na may makatuwirang mga coefficients na may mga ugat na ito ay

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Kung nais namin ang integer coefficients, magparami ng 9 upang makakuha ng:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Maaari nating i-multiply ito kung gusto natin:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

TANDAAN: Sa pangkalahatan, maaari naming isulat

#f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alpha) #

# = x ^ 2 - ((alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alphabeta)) x + alphabeta #

Sagot:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Paliwanag:

Tandaan na:

# (x-alpha) (x-beta) = x ^ 2 (alpha + beta) x + alpha beta #

at:

(x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha) = x ^ 2 (alpha ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alpha) x + (alpha ^ 2 / beta) alpha) #

#color (white) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2 (alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alpha beta) x + alpha beta #

# alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2 - ((alpha + beta) ^ 3-3alpha beta (alpha + beta)) / (alpha beta) x + alpha beta #

Sa aming halimbawa, naghahati # 3x ^ 2-4x + 1 # sa pamamagitan ng #3# meron kami:

# {(alpha + beta = 4/3), (alpha beta = 1/3):} #

Kaya:

# ((alpha + beta) ^ 3-3alpha beta (alpha + beta)) / (alpha beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Kaya ang nais na polynomial ay maaaring nakasulat:

# x ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Multiply sa pamamagitan ng #9# upang makakuha ng mga coefficients ng integer:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Sagot:

Ipinanukalang solusyon sa ibaba;

Paliwanag:

# 3x²-4x + 1 #

Tandaan: # a # ay alpha, # b # ay beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Upang bumuo ng isang equation nakahanap kami ng kabuuan at mga produkto ng mga ugat..

Para sa Sum

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Ngunit; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Samakatuwid;

# ((a + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Kaya binago namin ang mga halaga..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (cancel3 / 1) #

#28/9#

Kaya, ang kabuuan ay #28/9#

Para sa Mga Produkto

# ((a²) / b) ((b²) / a) #

# ((ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Samakatuwid, ang produkto ay #1/3#

# x²- (a + b) x + ab #

# x²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Pagpaparami sa pamamagitan ng #9#

Sana nakakatulong ito!