Ano ang karaniwang mga pagkakamali ng mag-aaral na may mga ellipses sa karaniwang form?

Ang Standard form para sa isang tambilugan (tulad ng itinuturo ko ito) ganito ang hitsura: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) ay ang sentro.

ang distansya "a" = kung gaano kalayo ang kanan / kaliwa upang lumipat mula sa sentro upang mahanap ang pahalang na mga endpoint.

ang distansya "b" = kung gaano kalayo pataas / pababa upang lumipat mula sa sentro upang mahanap ang vertical endpoints.

Sa palagay ko madalas na iniisip ng mga estudyante na iyon # a ^ 2 # ay gaano kalayo ang lumipat mula sa sentro upang hanapin ang mga endpoint. Kung minsan, ito ay isang napakalaking distansya upang maglakbay!

Gayundin, sa palagay ko kung minsan ang mga mag-aaral ay nagkakamali na lumipat pataas / pababa sa halip na kanan / kaliwa kapag nag-aaplay ng mga pormula na ito sa kanilang mga problema.

Narito ang isang halimbawa upang pag-usapan ang tungkol sa:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Ang sentro ay (1, -4). Dapat mong ilipat ang kanan at pakaliwa ang "isang" = 2 unit upang makuha ang pahalang na mga endpoint sa (3, -4) at (-1, -4). (tingnan ang larawan)

Dapat kang gumalaw pataas at pababa "b" = 3 unit upang makuha ang vertical endpoints sa (1, -1) at (1, -7). (tingnan ang larawan)

Dahil ang isang <b, ang pangunahing axis ay nasa vertical na direksyon.

Kung ang isang> b, ang pangunahing axis ay pupunta sa pahalang na direksyon!

Kung kailangan mong malaman ang anumang iba pang impormasyon tungkol sa mga ellipses, magtanong sa isa pang tanong!

(Pagkalito sa kung # a # at # b # kumakatawan sa mga pangunahing / menor de edad radii, o ang # x #- & # y #-radii)

Tandaan na ang standard na form para sa isang tambilugan nakasentro sa pinagmulan ay

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Subalit, gayunman, ang ilan ay magdudulot ng isyu sa pormula na nakalista sa itaas. Ang ilang mga paaralan ng pag-iisip hold na # a # dapat palaging magiging mas malaki kaysa sa # b # at samakatuwid ay kumakatawan sa haba ng mga pangunahing radius (kahit na ang pangunahing radius ay namamalagi sa vertical direksyon, kaya nagbibigay-daan para sa # y ^ 2 / a ^ 2 # sa ganoong kaso), habang itinuturing ng iba na dapat itong laging kumakatawan sa # x #-radius (kahit na ang # x #-Radius ay ang menor de edad radius).

Totoo rin ang totoo # b #, bagaman sa kabaligtaran. (ibig sabihin ang ilan ay naniniwala na # b # dapat palaging magiging menor de edad radius, at ang iba ay naniniwala na ito ay dapat palaging ang # y #-radius).

Tiyaking alam mo kung anong paraan ang iyong magtuturo (o ang program na ginagamit mo) mas pinipili. Kung wala nang malakas na kagustuhan, pagkatapos ay magpasiya lamang para sa iyong sarili, ngunit maging pare-pareho sa iyong desisyon. Ang pagpapalit ng iyong isip sa kalagitnaan ng pagtatalaga ay makagagawa ng mga bagay na hindi maliwanag, at binabago ang iyong isip sa kalagitnaan ng isang solong problema ay hahantong lamang sa mga pagkakamali.

(Radius / axis confusion)

Ang karamihan ng mga pagkakamali sa ellipses ay tila bunga ng kalituhan na ito kung saan ang radius ay pangunahing at kung saan ay menor de edad. Ang ibang posibleng mga pagkakamali ay maaaring lumitaw kung ang isang tao ay nakakalito sa mga pangunahing radius na may pangunahing axis (o ang menor de edad radius na may maliit na aksis). Ang pangunahing (o menor de edad) axis ay katumbas ng dalawang beses ang pangunahing (o menor de edad) radius, dahil ito ay mahalagang pangunahing (o menor de edad) lapad. Depende sa hakbang kung saan nangyayari ang pagkalito, ito ay maaaring humantong sa malubhang mga pagkakamali sa sukatan para sa tambilugan.

(Radius / radius squared confusion)

Ang isang katulad na error ay nangyayari kapag nakalimutan ng mga estudyante na ang mga denamineytor (# a ^ 2, b ^ 2 #) ay ang mga parisukat ng radii, at hindi ang radii sa kanilang sarili. Ito ay hindi bihira upang makita ang isang mag-aaral na may isang problema tulad ng # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # gumuhit ng isang tambilugan # x #-radius 9 at # y #-Radius 4. Dagdag pa, maaaring maganap ito kasabay ng pagkakamali sa itaas (nakakalito sa radius para sa diyametro), na humahantong sa mga resulta tulad ng isang mag-aaral na may itaas na equation na drowing ng ellipse na may pangunahing lapad 9 (at kaya pangunahing radius 4.5), sa halip na ang tamang pangunahing lapad 6 (at pangunahing radius 3).

(Hyperbola at Ellipse na pagkalito) BABALA: Ang sagot ay pantay na haba

Ang isa pang relatibong pangkaraniwang pagkakamali ay nangyayari kung ang isa ay hindi nakalimutan ang pormula para sa tambilugan. Sa partikular, ang pinaka-karaniwan sa mga error na ito ay tila nangyayari kapag ang isang tao ay nakakalito sa formula para sa ellipses na para sa hyperbolas (na, pagpapabalik, ay # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # o # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # para sa mga nakasentro sa pinanggalingan, muling napapailalim sa mga konbensiyang aksis-labeling na nakalista sa itaas). Para sa mga ito, ito ay tumutulong upang matandaan ang kahulugan ng ellipses at hyperbolas bilang conic seksyon.

Sa partikular, isipin na ang isang tambilugan ay ang lokus ng mga punto na may kaugnayan sa dalawang foci # f_1 & f_2 # na matatagpuan kasama ang pangunahing axis tulad na, para sa isang arbitrary point # p # sa locus, ang distansya mula sa # p # sa # f_1 # (na-label # d_1 #) kasama ang layo mula sa # p # sa # f_2 # (na-label # d_2 #) ay magkapareho ng dalawang beses ang pangunahing radius (ibig sabihin, kung # a # ang pangunahing radius, # d_1 + d_2 = 2a #). Dagdag dito, ang distansya mula sa sentro sa alinman sa mga foci na ito (minsan ay tinatawag na kalahating focal separation o linear na pagkakahiwalay), sa pag-aakala # a # ay ang pangunahing radius, ay katumbas ng #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Sa kabaligtaran, ang isang hyperbola ay ang lokus ng mga punto na may kaugnayan sa dalawang foci sa isang paraan na, para sa isang punto # p # sa locus, ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa pagitan ng distansya ng punto hanggang sa unang pagtuon at ang distansya ng punto sa ikalawang pokus ay katumbas ng dalawang beses ang pangunahing radius (ibig sabihin # a # pangunahing radius, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Dagdag dito, ang distansya mula sa sentro ng hyperbola sa alinman sa mga foci na ito (muli, kung minsan ay tinatawag na ang linear na pagkakahiwalay, at pa rin ipagpalagay # a # pangunahing radius) ay katumbas ng #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

May kaugnayan sa kahulugan ng mga seksyon ng alimusod, pangkalahatang pagka-eksento # e # ng isang seksyon ay tumutukoy kung ito ay isang bilog (# e = 0 #), ellipse (# 0 <e <1 #), parabola (# e = 1 #), o hyperbola (#e> 1 #). Para sa ellipses at hyperbolas, ang pagka-sira ay maaaring kalkulahin bilang ang ratio ng linear na pagka-eksentrik sa haba ng mga pangunahing radius; kaya, para sa isang tambilugan ay magiging # a = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (at kaya kinakailangang mas mababa sa 1), at para sa isang hyperbola ito ay magiging # a = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (at sa gayon ay kinakailangang mas malaki sa 1).