Bakit kailangan mong hanapin ang trigonometriko form ng isang kumplikadong numero?

Depende sa kung ano ang kailangan mong gawin sa iyong mga kumplikadong mga numero, ang trigonometriko form ay maaaring maging lubhang kapaki-pakinabang o napaka mahirap.

Halimbawa, hayaan # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # at # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Let's compute ang dalawang trigonometriko form:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # at # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # at # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # at # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Kaya ang mga trigonometrikong porma ay:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Pagdagdag

Sabihin nating nais mong i-compute # z_1 + z_2 + z_3 #. Kung gagamitin mo ang algebraic form, makakakuha ka

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}

Medyo madali. Subukan na ngayon ang trigonometriko form …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6) 2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

ito ay lumiliko na ang pinakamaikling paraan upang idagdag ang dalawang expression na ito ay upang malutas ang mga cosine at sines, na nangangahulugang … nagiging algebraic form!

Ang algebraic form ay madalas na ang pinakamahusay na paraan upang pumili sa pagdaragdag ng kumplikadong mga numero.

Pagpaparami

Ngayon subukan namin upang makalkula # z_1 * z_2 * z_3 #. Ang paggamit ng mga algebraic form ay nangangailangan ng maraming nakakainis na mga pag-compute. Ngunit ang paglutas ng produktong ito sa trigonometrikong mga form ay mas simple:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) 2/3 pi) + ko kasalanan (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Ang mga sangkap upang patunayan na ang pangalawang pagkakapantay-pantay ay nagmumula sa trigonometrya: ang dalawa dagdag na mga formula

# sin (alpha + beta) = sin (alpha) cos (beta) + kasalanan (beta) cos (alpha) #

#cos (alpha + beta) = cos (alpha) cos (beta) -sin (alpha) sin (beta) #

Ang multiplikasyon ng mga kumplikadong mga numero ay mas malinis pa (ngunit hindi sa konsepto ay hindi mas madali) sa exponential form.

Sa ilang mga kahulugan, ang trigonometriko form ay isang uri ng mga nasa pagitan ng form sa pagitan ng algebraic at ang mga exponential form. Ang trigonometriko form ay ang paraan upang lumipat sa pagitan ng mga dalawang. Sa ganitong kahulugan, ito ay isang uri ng isang "diksyunaryo" na "isalin" ang mga form.