Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) kasalanan ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ?

#a) #

Kailangan mo lang gawin #Psi ^ "*" Psi #.

#color (blue) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) kasalanan ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) kasalanan ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) kasalanan ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) kasalanan ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) (pix) / L) kasalanan ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = kulay (bughaw) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L kasalanan ((pix) / L) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Ang panahon ay matatagpuan na may kaunting pagsisikap, sa pamamagitan lamang ng unang pag-alam sa mga energies, na kung saan ay mga constants ng paggalaw.

Ang enerhiya ng # phi_1 = sqrt (1 / L) kasalanan ((pix) / L) # ay # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #, at ang lakas ng # phi_2 # ay # 4E_1 #. Samakatuwid, ang dalas # omega_2 # ng # phi_2 # ay apat na beses na ng # phi_1 # (# omega_1 #).

Bilang isang resulta, ang panahon # T_1 = (2pi) / (omega_1) # ng # phi_1 # ay apat na beses na ng # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, at isa ring panahon ng # phi_2 #.

Ang panahon ay kaya #color (asul) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Kukunin ko na i-plug mo ang isang ito sa iyong sarili bilang #t _ "*" = pi / 2 (E_2-E_1) #. Hindi mo kailangang gawin ang anumang bagay dito …

Alam namin iyan #T = (2pi) / (omega_1) #, at iyon # (iEt) / ℏ = iomegat #, kaya

#E_n = omega_nℏ #.

Ang resulta, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

at

#color (asul) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = kulay (asul) (1 / (12)) #

#d) #

Ang posibilidad ng paghahanap ng butil sa # 0, L / 2 # ay ibinigay bilang

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) ((pix) / L) kasalanan ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) ((pix) / L) kasalanan ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Ang unang dalawang termino ay simetriko na may kalahati ng amplitude, at ani #50%# pangkalahatang.

Ang ikatlong termino ay magkakaroon ng isang nakapirming probabilidad ng estado # 4 / (3pi) #, at # cos # ay isang arbitraryong yugto ng pasulong. Kaya, ang kabuuang posibilidad ay

# = kulay (asul) (0.50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (asul) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Walang maliit na solusyon sa ganito … Ito ay naging:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = kulay (asul) ((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)

#f) #

Sa #x = L / 2 #, ang # sin # ang mga tuntunin ay pumunta sa #sin (pi / 2) = 1 # at sa #sin (pi) = 0 #, ayon sa pagkakabanggit.

Mula noon #sin (pi) = 0 #, ang oras na umaasa sa bahagi ng #Psi ^ "*" Psi # nawala at ang oras-independiyenteng bahagi ay nananatili # 1 / L # bilang densidad ng probabilidad.