Ano ang kahalagahan ng bahagyang hinalaw? Magbigay ng halimbawa at tulungan akong maunawaan nang maikli.

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Umaasa ako na tumutulong ito.

Ang bahagyang hinalaw ay intrinsically nauugnay sa kabuuang pagkakaiba-iba.

Ipagpalagay na mayroon kaming isang function #f (x, y) # at gusto naming malaman kung magkano ang pagkakaiba nito kapag ipinakilala namin ang isang pagdagdag sa bawat variable.

Pag-aayos ng mga ideya, paggawa #f (x, y) = k x y # gusto naming malaman kung magkano ito

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

Sa aming function-halimbawa mayroon kami

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

at pagkatapos

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

Pagpili #dx, dy # arbitrarily small then #dx dy approx 0 # at pagkatapos

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

ngunit sa pangkalahatan

(x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy #

(X, dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

ngayon ginagawa #dx, dy # arbitrarily maliit na mayroon kami

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

upang maaari naming kalkulahin ang kabuuang pagkakaiba-iba para sa isang naibigay na function, sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga bahagyang derivatives #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # at compounding

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Dito, ang mga dami #f_ (x_i) # ay tinatawag na mga bahagyang derivatives at maaari ring kinakatawan bilang

# (bahagyang f) / (bahagyang x_i) #

Sa aming halimbawa

#f_x = (bahagyang f) / (bahagyang x) = k x # at

#f_y = (bahagyang f) / (bahagyang y) = k y #

TANDAAN

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Upang madagdagan ang sagot ni Cesareo sa itaas, magbibigay ako ng mas mathematically mahigpit na pambungad na kahulugan.

Ang bahagyang hinalaw, maluwag na pagsasalita, ay nagsasabi sa amin kung magkano ang pagbabago ng function ng multi-variable kapag humahawak ng iba pang mga variable na pare-pareho. Halimbawa, ipagpalagay na bibigyan tayo

#U (A, t) = A ^ 2t #

Saan # U # ay ang utility (kaligayahan) na pag-andar ng isang partikular na produkto, # A # ang halaga ng produkto, at # t # ay ang oras na ginagamit ang produkto.

Ipagpalagay na ang kumpanya na gumagawa ng produkto ay gustong malaman kung magkano ang higit na utility na makakakuha sila ng ito kung dagdagan nila ang lifespan ng produkto sa pamamagitan ng 1 unit. Ang bahagyang hinalaw ay magsasabi sa kumpanya ng halagang ito.

Ang bahagyang hinalaw ay karaniwang itinutukoy ng maliliit na titik na delta ng Griyego (# bahagyang #), ngunit mayroong iba pang mga notations. Magagamit namin # bahagyang # Sa ngayon.

Kung sinusubukan naming malaman kung gaano ang pagtaas ng utility ng produkto sa isang 1 yunit na pagtaas sa oras, computing namin ang bahagyang hinalaw ng utility na may paggalang sa oras:

# (partialU) / (partialt) #

Upang kumpirmahin ang PD, hinahawakan namin ang iba pang mga variable na pare-pareho. Sa kasong ito, tinatrato namin # A ^ 2 #, ang iba pang variable, na parang ito ay isang numero. Tandaan mula sa pambungad na calculus na ang hinangong ng isang pare-pareho ang mga oras ng isang variable ay lamang ang pare-pareho. Ito ay ang parehong ideya dito: ang (bahagyang) nanggaling ng # A ^ 2 #, isang pare-pareho, beses # t #, ang variable, ay pare-pareho lamang:

# (partialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Kaya, ang isang 1 yunit na pagtaas sa oras na ginagamit ng produkto ay gumagawa # A ^ 2 # mas maraming utility. Sa ibang salita, ang produkto ay nagiging mas kasiya-siya kung maaari itong magamit nang mas madalas.

Marami pa ang masasabi tungkol sa mga bahagyang derivatives - sa katunayan, ang buong kurso sa undergraduate at graduate ay maaaring italaga sa paglutas ng ilang mga uri ng equation na kinasasangkutan ng mga bahagyang derivatives - ngunit ang pangunahing ideya ay na ang bahagyang hinalaw ay nagsasabi sa amin kung magkano ang isa variable na pagbabago kapag ang iba pa ay mananatiling pareho.