Ano ang ibabaw na lugar ng solid na nilikha ng umikot na f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x sa [1,3] sa paligid ng x axis?

Sagot:

Tukuyin ang pag-sign, pagkatapos isama sa pamamagitan ng mga bahagi. Ang lugar ay:

# A = 39.6345 #

Paliwanag:

Kailangan mong malaman kung #f (x) # ay negatibo o positibo sa #1,3#. Samakatuwid:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Upang matukoy ang isang pag-sign, ang pangalawang kadahilanan ay magiging positibo kapag:

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Mula noon # e ^ x> 0 # para sa anumang #x sa (-oo, + oo) # ang hindi pagkakapareho ay hindi nagbabago:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Kaya't ang pag-andar ay positibo lamang kapag ang negatibong at x ay kabaligtaran. Dahil mayroon ding isang # x # factor sa #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Kapag ang isang kadahilanan ay positibo, ang iba ay negatibo, kaya f (x) ay laging negatibo. Samakatuwid, ang Lugar:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

(X) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3 e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Paggamit ng calculator:

# A = 39.6345 #

Sagot:

Area = 11,336.8 square units

Paliwanag:

ang ibinigay #f (x) = xe ^ -x-xe ^ x #

para sa pagiging simple ipaalam #f (x) = y #

at # y = xe ^ -x -xe ^ x #

ang unang nanggaling # y '# ay kailangan sa pag-compute ng lugar sa ibabaw.

Lugar # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

kung saan # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Lugar # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Tukuyin ang unang nanggaling # y '#:

iba-iba # y = x (e ^ -x - e ^ x) # gamit ang derivative ng formula ng produkto

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

pagkatapos ng pag-simplify at factoring, ang resulta ay

ang unang nanggaling # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Kalkulahin ngayon ang Lugar:

Area = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Lugar # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Lugar

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Para sa mga komplikadong mga integral na tulad nito, maaari naming gamitin ang Simpson's Rule:

kaya na

Lugar

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Lugar = -11,336.804

ito ay nagsasangkot sa direksyon ng rebolusyon upang magkaroon ng negatibong ibabaw na lugar o positibong lugar sa ibabaw. Isaalang-alang natin ang positibong halaga na Area = 11336.804 square units