Ang kabuuan ng parisukat ng tatlong integers ay 324. Paano mo nahanap ang integer?

Sagot:

Ang tanging solusyon na may natatanging positibong integer ay #(2, 8, 16)#

Ang buong hanay ng mga solusyon ay:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Paliwanag:

Maaari naming i-save ang ating sarili ng ilang mga pagsisikap sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang kung ano ang mga parisukat na form.

Kung # n # ay isang kakaibang integer pagkatapos #n = 2k + 1 # para sa ilang integer # k # at:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Pansinin na ito ay isang kakaibang integer ng form # 4p + 1 #.

Kaya kung idagdag mo ang mga parisukat ng dalawang kakaibang integers, ikaw ay laging makakakuha ng isang integer ng form # 4k + 2 # para sa ilang integer # k #.

Tandaan na #324 = 4*81# ay nasa anyo # 4k #, hindi # 4k + 2 #.

Samakatuwid maaari naming pagbatayan na ang tatlong integers dapat lahat maging kahit na.

Mayroong isang may hangganan na bilang ng mga solusyon sa integers dahil # n ^ 2> = 0 # para sa anumang integer # n #.

Isaalang-alang ang mga solusyon sa mga di-negatibong integers. Maaari kaming magdagdag ng mga variant na kinasasangkutan ng mga negatibong integer sa dulo.

Ipagpalagay na ang pinakamalaking integer ay # n #, pagkatapos ay:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Kaya:

# 12 <= n <= 18 #

Na nagreresulta sa posibleng mga kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang integer:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Para sa bawat isa sa mga halagang ito # k #, ipagpalagay na ang pinakamalaking natitirang integer ay # m #. Pagkatapos:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

at kailangan namin # k-m ^ 2 # upang maging isang perpektong parisukat.

Kaya nakakahanap kami ng mga solusyon:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Kaya ang tanging solusyon na may natatanging positibong integer ay #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Madaling ipakita ito # x, y # at # z # dapat kahit na dahil sa paggawa # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # at # z = 2m_z # meron kami

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # o

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # na walang katotohanan.

Kaya isaalang-alang namin mula ngayon

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Ngayon isinasaalang-alang ang pagkakakilanlan

(2 ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

may # l, m, n # arbitrary positive integers and making

(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n): # ------ 1

meron kami

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # o paglutas para sa # n #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

kaya para sa pagiging posible na kailangan natin

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # o

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

kaya para sa # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # magkakaroon kami ng

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # kaya ang magagawa # q # ay

#q_f = {80,72,56,32} # dahil #q equiv 0 mod 4 #

kaya kailangan nating hanapin

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # o

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Dito dahil maaari naming madaling mapatunayan, ang tanging solusyon ay para sa

# l_1 = 2, m_1 = 4 # dahil

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

at dahil dito # n_1 = {4,5} #

at substituting sa 1 namin makuha

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

pagbibigay ng solusyon

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #