Maaari ba ang isang function na maging tuloy-tuloy at di-differentiable sa isang ibinigay na domain ??

Sagot:

Oo.

Paliwanag:

Ang isa sa mga pinaka-kapansin-pansin na mga halimbawa nito ay ang function na Weierstrass, na natuklasan ni Karl Weierstrass na tinukoy niya sa kanyang orihinal na papel bilang:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

kung saan # 0 <a <1 #, # b # ay isang positibong kakaibang integer at #ab> (3pi + 2) / 2 #

Ito ay isang napaka-matinik na function na tuloy-tuloy sa lahat ng dako sa Real linya, ngunit differentiable wala kahit saan.

Sagot:

Oo, kung may "baluktot" na punto. Ang isang halimbawa ay #f (x) = | x | # sa # x_0 = 0 #

Paliwanag:

Ang tuluy-tuloy na pagpapaandar ay nangangahulugan ng pagguhit nito nang hindi inaalis ang iyong lapis sa papel. Mathematically, ito ay nangangahulugan na para sa anumang # x_0 # ang mga halaga ng #f (x_0) # habang ang mga ito ay nilapitan ng walang hangganang maliit # dx # mula sa kaliwa at kanan ay dapat pantay-pantay:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

kung saan ang minus sign ay nangangahulugan na papalapit mula sa kaliwa at plus sign nangangahulugan na papalapit mula sa kanan.

Ang kapansin-pansing function ay nangangahulugang isang function na patuloy na nagbabago sa slope nito (HINDI sa isang pare-pareho ang rate). Samakatuwid, ang isang function na hindi naiiba sa isang partikular na punto ay halos nangangahulugan na ito ay biglang nagbabago ito ng slope mula sa kaliwa ng puntong iyon sa kanan.

Tingnan natin ang 2 mga function.

#f (x) = x ^ 2 # sa # x_0 = 2 #

Graph

graph {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Graph (naka-zoom)

graph {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Dahil sa # x_0 = 2 # ang graph ay maaaring nabuo nang hindi kinuha ang lapis mula sa papel, ang pag-andar ay tuloy-tuloy sa puntong iyon. Dahil ito ay hindi baluktot sa puntong iyon, ito ay differentiable din.

#g (x) = | x | # sa # x_0 = 0 #

Graph

graph {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

Sa # x_0 = 0 # ang pag-andar ay tuloy-tuloy na ito ay maaaring iguguhit nang hindi inaalis ang lapis mula sa papel. Gayunpaman, dahil ito ay bents sa puntong iyon, ang function ay hindi differentiable.