Paano ko mahahanap ang integral int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Paggamit ng Pagsasama-sama ng mga bahagi,

# intx ^ 2sinpixdx #

#=#

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Tandaan na ang Pagsasama ng mga bahagi ay gumagamit ng formula:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

Aling ay batay sa patakaran ng produkto para sa derivatives:

#uv = vdu + udv #

Upang gamitin ang formula na ito, dapat naming magpasya kung aling termino ang magiging # u #, at kung saan ay magiging # dv #. Isang kapaki-pakinabang na paraan upang malaman kung aling termino ang napupunta kung saan ay ang ILATE paraan.

Inverse Trig

Logarithms

Algebra

Trig

Mga pagpaparami

Nagbibigay ito sa iyo ng isang order ng priyoridad kung aling termino ang ginagamit para sa "# u #", kaya ang anumang natitira ay nagiging atin # dv #. Ang aming function ay naglalaman ng isang # x ^ 2 # at isang # sinpix #, kaya ang ILATE method ay nagsasabi sa amin na # x ^ 2 # ay dapat gamitin bilang aming # u #, dahil ito ay algebraic at mas mataas sa listahan kaysa # sinpix #, na kung saan ay trig.

Mayroon na kami ngayong:

#u = x ^ 2 #, #dv = sinpix #

Ang susunod na mga bagay na kailangan namin sa formula ay "# du #"at"# v #", na makuha natin sa pamamagitan ng paghahanap ng pinaghihiwalay ng"# u #"at ang kabuuan ng"# dv #'.

Ang hinangong ay nakuha gamit ang kapangyarihan na tuntunin:

# d / dxx ^ 2 = 2x = du #

Para sa integral, maaari naming gamitin ang pagpapalit.

gamit #w = pix #, napupunta kami sa # (- 1 / pi) cosw #

Mayroon na kami ngayong:

#du = 2x dx #, #v = ## (- 1 / pi) cospix #

Pag-plug sa aming orihinal na Pagsasama sa pamamagitan ng Mga Bahagi ng pormula, mayroon kami:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

#=#

# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #

Kami ngayon ay naiwan na may isa pang mahalagang bahagi na dapat naming gamitin muli ang Pagsasama-sama ng Mga Bahagi upang malutas. Sa pamamagitan ng paghila ng #2# mula sa mahalaga, kami ay naiwan #u = x #, #dv = cospix #. Sa pamamagitan ng pagpunta sa parehong proseso ng dati, makakakuha tayo ng:

#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #

Ang huling integral na maaari naming malutas sa isang huling pag-ikot ng pagpapalit, na nagbibigay sa amin ng:

# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #

Ang paglalagay ng lahat ng aming natagpuang magkasama, mayroon na kami ngayon:

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #

Ngayon ay maaari nating gawing simple ang mga negatibo at panaklong upang makuha ang pangwakas na sagot:

# intx ^ 2sinpixdx = #

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Ang susi ay upang tandaan na ikaw ay end up sa isang kadena ng maraming mga tuntunin na idinagdag o binabawasan magkasama. Patuloy mong binabiyak ang integral sa mas maliit, madaling mapamahalaan na mga bahagi na dapat mong subaybayan para sa pangwakas na sagot.

Paano ko mahahanap ang integral int (ln (x)) ^ 2dx?

Ang aming layunin ay upang mabawasan ang lakas ng ln x upang ang integral ay mas madali upang masuri. Maaari nating maisagawa ito sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi. Tandaan ang formula ng IBP: int u dv = uv - int v du Ngayon, ipapaalam namin ang u = (lnx) ^ 2, at dv = dx. Samakatuwid, du = (2lnx) / x dx at v = x. Ngayon, pinagsama-sama ang mga piraso, nakukuha namin: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Ang bagong integral na ito ay mukhang mas mahusay! Ang pagpapasimple ng kaunti, at pagdadala ng patuloy na harap, ay magbubunga: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Ngayon, upang mapupuk

Paano ko mahahanap ang integral int (x * cos (5x)) dx?

Susuriin natin ang formula para sa pagsasama ng mga bahagi, na kung saan ay: int u dv = uv - int v du Upang matagumpay na matagpuan ang mahalagang bahagi na ito ay hayaan namin ang u = x, at dv = cos 5x dx. Samakatuwid, du = dx at v = 1/5 sin 5x. (maaaring matagpuan ang v gamit ang isang mabilis na u-pagpapalit) Ang dahilan kung bakit pinili ko x para sa halaga ng u ay dahil alam ko na mamaya sa ako ay end up pagsasama ng v multiplied sa pamamagitan ng u's derivative. Sapagkat ang hinangong ng u ay 1 lamang, at dahil sa pagsasama ng isang trig function sa pamamagitan ng mismo ay hindi gawin itong mas kumplikado, epekti

Paano ko mahahanap ang integral int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proseso: int x e ^ (- x) dx =? Kinakailangan ng integral na ito ang pagsasama ng mga bahagi. Tandaan ang formula: int u dv = uv - int v du Hayaan namin ang u = x, at dv = e ^ (- x) dx. Samakatuwid, du = dx. Ang paghahanap ng v ay nangangailangan ng isang u-pagpapalit; Gagamitin ko ang liham q sa halip na u dahil ginagamit na namin ang u sa pagsasama ng mga bahagi ng formula. v = int e ^ (- x) dx let q = -x. kaya, dq = -dx Isusulat namin ang kabuuan ng integral, pagdaragdag ng dalawang negatibo upang mapaunlakan ang dq: v = -int -e ^ (- x) dx Nakasulat sa mga tuntunin ng q: v