Bakit hindi natin maisasama ang x ^ x?

Sagot:

Wala kaming tuntunin para dito.

Paliwanag:

Sa mga integral, mayroon tayong mga karaniwang alituntunin. Ang panuntunang anti-kadena, panuntunang anti-produkto, panuntunang anti-kapangyarihan, at iba pa. Ngunit wala kaming isa para sa isang function na may isang # x # sa parehong base at sa kapangyarihan. Maaari naming gawin ang mga pinaghuhusay ng mga ito lamang ang multa, ngunit ang pagsisikap na gawin ang mahalaga ay imposible dahil sa kakulangan ng mga patakaran na gagana.

Kung binuksan mo ang Desmos Graphing Calculator, maaari mong subukang mag-plug in

# int_0 ^ x a ^ ada #

at ito ay graph na ito lamang ang multa. Ngunit kung sinubukan mong gamitin ang panuntunang anti-kapangyarihan o panuntunan sa anti-exponent sa graph laban dito, makikita mo itong nabigo. Kapag sinubukan kong hanapin ito (na ginagawa ko pa rin), ang aking unang hakbang ay upang makuha ito mula sa pormang ito at sa mga sumusunod:

# inte ^ (xln (x)) dx #

Ito ay mahalagang nagbibigay-daan sa amin upang gamitin ang mga patakaran ng calculus ng kaunti mas mahusay. Ngunit kahit na ginagamit ang Pagsasama-sama ng Mga Bahagi, hindi mo talaga mapupuksa ang mahalaga. Samakatuwid, hindi ka talaga nakakuha ng isang function upang matukoy ito.

Ngunit gaya ng lagi sa Math, masaya na mag-eksperimento.Kaya sige at subukan, ngunit hindi masyadong mahaba o mahirap, makakakuha ka ng sinipsip sa kuneho kuneho.

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

#y = x ^ x # maaaring isama. Halimbawa

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

ang isa pang bagay ay magkaroon ngayon ng isang araw, isang function #f (x) # na kumakatawan sa saradong anyo, ang primitive para sa # x ^ x # o sa ibang salita, tulad na

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Kung ito ay isang function ng karaniwang paggamit sa teknikal-pang-agham problema, tiyak na namin imbento ng isang differentiated pangalan at simbolo upang manipulahin ito. Tulad ng function na Lambert na tinukoy bilang

#W (x) = x e ^ x #

Sagot:

Mangyaring tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Tulad ng ipinahiwatig ni Cesareo (walang sinasabi), may ilang kalabuan sa "hindi natin maisasama".

Ang pag-andar #f (x) = x ^ x # ay patuloy # (0, oo) #

at sa # 0, oo) # kung gagawin namin #f (0) = 1 #, kaya gawin natin iyan. Samakatuwid, ang tiyak na kabuuan

# int_a ^ b x ^ x dx # ay umiiral para sa lahat # 0 <= a <= b #

Higit pa rito, ang pangunahing teorema ng calulus ay nagsasabi sa atin na ang pag-andar # int_0 ^ x t ^ t dt # ay nagmula # x ^ x # para sa #x> = 0 #

Ang hindi namin maaaring gawin ay ipahayag ang function na ito sa isang maganda, wakas, sarado na anyo ng mga algebraic na expression (o kahit na alam ang mga transendental function).

Mayroong maraming mga bagay sa matematika na hindi maipahayag maliban sa isang anyo na nagbibigay-daan sa mas mahusay na mga pagtatantya ng sunud-sunod.

Halimbawa:

Ang bilang na ang parisukat ay #2# ay hindi maaaring ipahayag sa decimal o fractional form gamit ang isang wakas na expression. Kaya bigyan natin ito ng isang simbolo, # sqrt2 # at tinatayang ito sa anumang ninanais na antas ng katumpakan.

Ang ratio ng circumference sa lapad ng isang bilog ay hindi maaaring ipinahayag nang matagal gamit ang isang may hangganan algebraic kumbinasyon ng buong numero, kaya bigyan namin ito ng isang pangalan, # pi # at tinatayang ito sa anumang ninanais na antas ng katumpakan.

Ang solusyon sa # x = cosx # ay maaari ring tinatayang sa anumang ninanais na antas ng katumpakan, ngunit hindi maaaring maipahayag nang maayos. Ang numerong ito (marahil) ay hindi sapat na mahalaga upang mabigyan ng isang pangalan.

Tulad ng sinabi ni Cesareo, kung ang kabuuan ng # x ^ x # ay may maraming mga aplikasyon, ang mga mathematicians ay magpatibay ng isang pangalan para dito.

Ngunit ang mga kalkulasyon ay nangangailangan pa rin ng walang katapusan na approximation.