Tanong # 53a2b + Halimbawa

Sagot:

Ang kahulugan ng distansya ay walang pagbabago sa ilalim ng pagbabago ng inertial na frame, at samakatuwid ay may pisikal na kahulugan.

Paliwanag:

Ang puwang ng Minkowski ay itinayo upang maging isang 4-dimensional na espasyo na may mga coordinate parameter # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, kung saan karaniwang sinasabi natin # x_0 = ct #. Sa core ng espesyal na kapamanggitan, mayroon kaming mga transformation ng Lorentz, na mga transformasyon mula sa isang inertial na frame patungo sa isa pa na nag-iiwan ng bilis ng liwanag na invariant. Hindi ko mapupunta sa ganap na pinagmulan ng mga pagbabago sa Lorentz, kung nais mo akong ipaliwanag iyon, magtanong lamang at magpapadala ako ng mas maraming detalye.

Ang mahalaga ay ang mga sumusunod. Kapag tinitingnan natin ang puwang ng Euclidian (ang espasyo kung saan mayroon tayo ng karaniwang kahulugan ng haba na ginagamit natin # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), mayroon tayong mga pagbabago; spatial rotations, pagsasalin at mirrorings. Kung namin kalkulahin ang distansya sa pagitan ng dalawang punto sa iba't ibang mga frame ng reference na konektado sa pamamagitan ng mga transformations, nakita namin ang distansya upang maging pareho. Nangangahulugan ito na ang distansya ng Euclidian ay hindi umiiral sa ilalim ng mga pagbabagong ito.

Ngayon ay pinalawak namin ang paniwala na ito sa 4-dimensional na spacetime. Bago ang Einsteins teorya ng espesyal na kapamanggitan, kami ay nakakonekta sa mga inertial frames ng Galilei transformations, na pinalitan lamang ng spatial coordinate # x_i # sa pamamagitan ng # x_i-v_it # para sa #iin {1,2,3} # kung saan # v_i # ang bilis ng tagamasid sa # i # direksyon na may kaugnayan sa orihinal na frame. Ang pagbabagong ito ay hindi umalis sa bilis ng liwanag invariant, ngunit ito ay umalis sa layo na sapilitan sa pamamagitan ng elemento ng linya # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, dahil lamang walang pagbabago sa coordinate ng oras, kaya ang oras ay ganap.

Gayunpaman, ang pagbabagong-anyo ng Galilei ay hindi tumpak na naglalarawan sa pagbabagong-anyo ng isang inertial na frame sa isa pa, dahil alam natin na ang bilis ng liwanag ay hindi umiiral sa ilalim ng tamang transformation coordinate. Samakatuwid ipinakilala namin ang pagbabago ng Lorentz. Ang distansya ng Euclidian na pinalawak sa 4-dim spacetime tulad ng ginawa sa itaas ay hindi invariant sa ilalim ng pagbabagong ito ng Lorentz, gayunpaman, ang layo na sapilitan ng # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # ay, na tinatawag nating tamang distansya. Kaya kahit na ito Euclidian distansya kung saan Pythagoras teorama hold ay isang ganap na disenteng mathematical istraktura sa 4 dim space, ito ay walang anumang pisikal na kahulugan, dahil ito ay nakasalalay sa mga tagamasid.

Ang tamang distansya ay hindi nakasalalay sa tagamasid, kaya't maaari naming bigyan ito ng pisikal na kahulugan, ito ay ginagawa sa pamamagitan ng pagkonekta ng arclenght ng isang worldline sa pamamagitan ng puwang ng Minkowski gamit ang distansya na ito sa lumipas na oras na sinusunod ng isang bagay na naglalakbay kasama ang worldline na ito. Tandaan na kung iiwan natin ang takdang oras, ang Pythagoras theorem ay may hawak pa rin sa mga spatial coordinate.

EDIT / ADDITIONAL EXPLANATION:

Ang orihinal na nagtatanong ng tanong na ito ay nagtanong sa akin na magpaliwanag ng kaunti pa, sumulat siya: "Salamat. Ngunit, maaari mong ipaliwanag ang huling dalawang paras ng kaunti pa. Sa isang libro na nakita ko sila ay nagkaroon # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 #. Mangyaring ipaliwanag "Sa esensya kung ano ang mayroon kami dito ay isang dalawang dimensyon na bersyon ng aking inilarawan sa itaas. Mayroon kaming paglalarawan ng espasyo sa isang oras at isang sukat ng espasyo. Sa ito ay tinutukoy namin ang distansya, o mas tumpak na pamantayan (isang distansya mula sa ang pinagmulan sa isang punto) # s # gamit ang formula # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # kung saan # x # ang spatial coordinate at # t # ang temporal na coordinate.

Ang ginawa ko sa itaas ay isang three dimensional na bersyon ng ito, ngunit mas mahalaga na ginamit ko # (ds) ^ 2 # sa halip ng # s ^ 2 # (Nagdagdag ako ng mga panaklong para sa paglilinaw ng kung ano ang squared). Kung wala sa mga detalye ng kaugalian geometry masyadong marami, kung mayroon kaming isang linya sa pagkonekta ng dalawang puntos sa espasyo, # ds # ang haba ng isang maliit na piraso ng linya, isang tinatawag na elemento ng linya. Sa pamamagitan ng isang 2D na bersyon ng aking isinulat sa itaas, mayroon kami # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, na may kaugnayan sa haba ng maliit na piraso na ito sa maliit na pagbabago sa mga coordinate. Upang makalkula ang distansya mula sa pinagmulan sa isang punto # x_0 = a, x_1 = b # sa spacetime, kinakalkula namin ang haba ng isang tuwid na linya ng pagpunta mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong iyon, ang linyang ito ay ibinigay # x_0 = a / bx_1 # kung saan # x_1in 0, b #, tandaan natin iyan # dx_0 = a / bdx_1 #, kaya # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, kaya # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, na maaari nating isama, pagbibigay # s = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

Samakatuwid # s ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # sa # (t, x) # coordinates.

Kaya nga kung ano ang isinulat ko sa itaas ay nagbigay ng nabasa mo sa aklat. Gayunpaman ang bersyon ng elemento ng linya ay nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang haba ng anumang linya, hindi lamang tuwid na mga linya. Ang kuwento tungkol sa pagbabago ng Lorentz ay humahawak pa, ang pamantayan na ito # s # ay invariant sa ilalim ng pagbabago ng reference frame, habang # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # ay hindi.

Ang katunayan na ang Pythagoras teorama ay hindi hold ay hindi na nakakagulat. Ang Pythagoras theorem ay nagtataglay ng Euclidean geometry. Nangangahulugan ito na ang espasyo kung saan ka nagtatrabaho ay flat. Ang isang halimbawa ng mga puwang na hindi flat ay ang ibabaw ng isang globo. Kapag nais mong makita ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos sa ibabaw na ito, kinukuha mo ang haba ng pinakamaikling landas sa ibabaw na ito sa pagkonekta sa dalawang puntong ito. Kung ikaw ay magtatayo ng isang tamang tatsulok sa ibabaw na ito, na kung saan ay mukhang ibang-iba mula sa isang tatsulok sa Euclidean space, dahil ang mga linya ay hindi tuwid, Pythagoras teorama ay hindi hawak sa pangkalahatan.

Ang isa pang mahalagang katangian ng geometry ng Euclidean ay na kapag naglagay ka ng isang coordinate system sa puwang na ito, ang bawat coordinate ay gumaganap ng parehong papel. Maaari mong i-rotate ang mga axes at magtapos na may parehong geometry. Sa Minkowski geometry sa itaas hindi lahat ng mga coordinate ay may parehong papel, dahil ang oras axes ay may minus sign sa equation at ang iba ay wala. Kung ang minus sign na ito ay wala doon, ang oras at espasyo ay magkakaroon ng katulad na papel sa spacetime, o hindi bababa sa geometry. Ngunit alam namin na ang espasyo at oras ay hindi pareho.