Tanong # e8044

Sagot:

#color (blue) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

#color (asul) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2 + K) #

Paliwanag:

Mula sa ibinigay #int (1 / (1 + cot x)) dx #

Kung ang isang integrand ay isang makatuwiran na pag-andar ng mga trigonometriko function, ang pagpapalit # z = tan (x / 2) #, o katumbas nito

#sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) # at #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # at

# dx = (2dz) / (1 + z ^ 2) #

Ang solusyon:

#int (1 / (1 + cot x)) dx #

#int (1 / (1 + cos x / sin x)) dx #

#int (sin x / (sin x + cos x)) dx #

# 1 (z + 2) / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) 2dz) / (1 + z ^ 2)) #

Pasimplehin

# 1 (z + 2) / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) 2dz) / (1 + z ^ 2)) #

#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #

Sa puntong ito, gamitin ang Partial Fraction pagkatapos isama

(z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz #

Ginagawa muna namin ang Bahagyang Fraction

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = (Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2- 2z-1) #

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = ((Az + B) (z ^ 2-2z-1) + (Cz + D) (z ^ 2 +1)) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Palawakin ang kanang bahagi ng equation

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

# (Az ^ 3-2Az ^ 2-Az + Bz ^ 2-2Bz-B + Cz ^ 3 + Dz ^ 2 + Cz + D) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

I-set up ang mga equation

# (0 ^ z ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * z + 0 * z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

# ((A + C) * z ^ 3 + (- 2A + B + D) * z ^ 2 + (- A-2B + C) * z + (- B + D) * z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Ang mga equation ay

# A + C = 0 #

# -2A + B + D = 0 #

# -A-2B + C = -4 #

# -B + D = 0 #

Ang sabay-sabay na mga resulta ng solusyon sa

# A = 1 # at # B = 1 # at # C = -1 # at # D = 1 #

Maaari na namin ngayon ang pagsasama

(z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz = int ((z + 1) / (z ^ 2 + 1) + (- z + 1) / (z ^ 2-2z-1)) dz =

# 1/2 int (2z) / (z ^ 2 + 1) dz + int dz / (z ^ 2 + 1) -1 / 2int (2z-2) / (z ^ 2-2z-1) dz #

# = 1/2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1/2 * ln (z ^ 2-2z-1) #

# = 1/2 * ln ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan ^ -1 z #

Ibabalik namin ito sa orihinal na variable nito # x # gamit # z = tan (x / 2) # para sa pangwakas na sagot.

#color (blue) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

#color (asul) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2 + K) #

kung saan # K = # pare-pareho ng pagsasama

Pagpalain ng Diyos … Umaasa ako na ang paliwanag ay kapaki-pakinabang.