Patunayan na ang bilang sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) ay hindi makatwiran para sa anumang natural na bilang n mas malaki kaysa sa 1?

Sagot:

Tingnan ang paliwanag …

Paliwanag:

Ipagpalagay na:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # ay makatuwiran

Kung gayon ang parisukat nito ay dapat na rational, i.e.:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

at samakatuwid ay ganito:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Maaari naming paulit-ulit na parisukat at ibawas upang malaman na ang mga sumusunod ay dapat makatuwiran:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Kaya nga # n = k ^ 2 # para sa ilang positibong integer #k> 1 # at:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Tandaan na:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Kaya nga # k ^ 2 + k-1 # ay hindi ang parisukat ng isang integer alinman at #sqrt (k ^ 2 + k-1) # ay hindi makatwiran, sinasalungat ang aming assertion na #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # ay makatuwiran.

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Ipagpalagay

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # may # p / q # hindi tayo mababago

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

na kung saan ay isang walang katotohanan, dahil ayon sa mga resulta na ito, ang anumang square root ng isang positibong integer ay makatuwiran.