Lutasin ang sumusunod na equation: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Sagot:

# x = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Ang paliwanag na ito ay nagbibigay ng isang halip malalim na paraan ng pagtukoy ng mga hakbang sa paghahanap ng posibleng mga kadahilanan kung saan muling isulat ang isang parisukat na uri ng equation upang ito ay nalulusaw nang walang parisukat na equation at / o isang calculator.

Paliwanag:

Unang parisukat ang term sa kaliwang bahagi ng equation.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Palawakin ang squared binomial. Alalahanin iyan # (x ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Maaari naming i-clear ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng equation sa pamamagitan ng hindi bababa sa karaniwang denominador ng #3,25,# at #9,# na kung saan ay #225#.

Tandaan na #225=3^2*5^2#, kaya #225/3=75#, #225/25=9#, at #225/9=25#.

Pagpaparami sa pamamagitan ng #225# nagbibigay sa:

# 75 (x ^ 2-2) +9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Ipamahagi ang bawat multiplikatibo pare-pareho.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Ilipat ang lahat ng mga tuntunin sa isang gilid at muling ayusin ang equation.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Ito ay ang potensyal na maging factorable: ang kakulangan ng # x ^ 3 # at # x # Ang mga tuntunin ay nangangahulugan na ito ay maaaring ma-factored sa form # (x ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Upang subukan para sa mga kadahilanan, tandaan na dapat nating makahanap ng isang pares ng mga integers na ang produkto ay ang produkto ng una at huling mga coefficients, na kung saan ay # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. Ang parehong integers na ang produkto ay #3^2*11*19# dapat magkaroon ng kabuuan ng #-118#.

Dahil ang produkto ay positibo at ang halaga ay negatibo, alam namin na ang parehong integers ay magiging positibo.

Ang bilis ng kamay ngayon ay upang mahanap ang ilang mga kumbinasyon ng mga numero na nanggaling #3^2*11*19# na ang kabuuan ay #118#. (Kung nakita namin ang positibong bersyon, maaari naming ilipat ang parehong mga numero sa kanilang mga negatibong form madali.)

Dapat nating subukang makamit ang mga pagpapangkat ng mga salik mula sa #3^2*11*19# na hindi lalampas #118#.

Maaari nating maibalik ang posibilidad ng preemptively #3^2*19# at #11*19# na nagaganap bilang alinman sa isa sa aming dalawang integers, dahil pareho sa mga ito ay mas malaki kaysa sa #118#. Kaya, kung tumuon tayo sa #19# dahil ito ay ang pinakamalaking kadahilanan, alam namin na ito ay umiiral lamang bilang alinman #19# o #3*19#.

Kaya, ang aming dalawang pagpipilian lamang para sa mga integer ay:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Sum"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19 * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Kaya ang aming pares ng mga numero na ang produkto ay #3^2*11*19# at sum ay #118# ay #19# at #99#.

Mula dito maaari naming isulat ang quartic bilang:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Factor sa pamamagitan ng pagpapangkat:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Hatiin ito sa dalawang equation:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Sagot:

Ang mga equation na may mga praksiyon ay laging mas masahol kaysa sa mga ito. Hangga't mayroon kang isang equation at hindi isang expression, maaari mong mapupuksa ang mga denamineytor sa pamamagitan ng pagpaparami sa pamamagitan ng LCM ng mga denamineytor.

Paliwanag:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-squaring ng denamineytor sa ikalawang termino.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Ngayon multiply ang bawat termino sa pamamagitan ng 225 upang kanselahin ang mga denamineytor.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / cancel3 + cancel (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / cancel25 = cancel (225) ^ 25xx7 / cancel9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Ito ay malinaw na isang parisukat, kaya't gawing katumbas ito sa 0.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Pansinin na ang una at pangatlong termino ay katulad ng mga termino, upang maidagdag natin ang mga ito. Parisukat din ang gitnang termino.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Alisin ang mga braket ng distributive law:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Pasimplehin: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

Ang pagtuklas sa mga kadahilanan ng 9 at 209 ay humahantong sa

9 = 3x3, o 9x1 at 209 = 11 x 19

Ang kumbinasyon ng mga kadahilanan na nagdadagdag sa 118 ay 99 + 19

Nagbibigay ang factorising # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

Kung # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Kung # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #