Ano ang ibig sabihin ng sqrt (3 + i) na katumbas sa form na + bi?

Sagot:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)

Ipagpalagay # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Kaya tinutumbasan ang mga bahagi ng tunay at haka-haka na natatanggap natin:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Kaya nga #b = 1 / (2a) #, na maaari naming palitan sa unang equation upang makakuha ng:

# 3 = a ^ 2 (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Multiply ang parehong dulo sa pamamagitan ng # 4a ^ 2 # upang makakuha ng:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Kaya:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Mula sa parisukat na formula na nakukuha natin:

8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Mula noon #sqrt (10)> 3 #, Piliin ang #+# mag-sign upang makakuha ng Real values para sa # a #:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

kung saan # b # ay may parehong sign bilang # a # dahil #b = 1 / (2a) #

Ang prinsipal square root ay nasa Q1 na may #a, b> 0 #

Yan ay:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)

Sa katunayan, kung #c, d> 0 # pagkatapos ay maaari naming ipakita ang parehong:

# sqm (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) i #