Paano mo pinasimple ang 2cos ^ 2 (4θ) -1 gamit ang isang double-angle formula?

Sagot:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

Paliwanag:

Mayroong ilang double formula ng anggulo para sa cosine. Karaniwan ang ginustong isa ay ang isa na lumiliko ng isang cosine sa isa pang cosine:

# cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Maaari naming aktwal na kumuha ng problemang ito sa dalawang direksyon. Ang pinakasimpleng paraan ay ang sabihin # x = 4 theta # kaya makuha namin

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

na kung saan ay medyo pinasimple.

Ang karaniwang paraan upang pumunta ay upang makuha ito sa mga tuntunin ng # cos theta #. Nagsisimula kami sa pamamagitan ng pagpapaalam # x = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Kung itinakda namin # x = cos theta # magkakaroon tayo ng walong Chebyshev polinomyal ng unang uri, # T_8 (x) #, kasiya-siya

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Ang hulaan ko na ang unang paraan ay marahil kung ano ang mga ito pagkatapos.