Sagot:
Magsimula sa
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - sec (xy) #
Let's replace the secant with a cosine.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Ngayon ay tinatanggap natin ang derivative wrt x sa BOTH SIDES!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
Ang hinangong ng isang pare-pareho ay zero at ang hinangong ay linear!
D / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Ngayon gamit ang tuntunin ng produkto sa mga unang dalawang term na aming nakuha!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Susunod na maraming at maraming Kasayahan na may tuntunin ng kadena! Panoorin ang huling termino!
(ginagawa din ang mga simpleng x derivatives)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy}
Ang paggawa ng ilan sa mga y derivatives, xy derivatives at cos (xy) derivatives ay ginagawa din ang patakaran ng produkto at ang panuntunan sa kadena isa pang panahon sa huling bahagi ng huling termino.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - kasalanan (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
Makakakuha ng kaunti at tapusin ang lahat ng derivatives
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Ngayon ay hiwalay sa term na may # dx / dy # at walang
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Dalhin ang lahat ng walang # dy / dx # sa isang tabi at koleksyon tulad ng mga tuntunin sa iba pang
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Hatiin kahit na mahanap # dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
Napakatagal iyon!
Paliwanag:
Nagpunta sa isang mahabang paliwanag sa simpleng halimbawa dahil ang di-malinaw na pagkita ng kaibhan ay maaaring nakakalito at ang panuntunan sa kadena ay napakahalaga.
Kailangan mong gamitin ang tungkol sa tatlong mga panuntunan ng BIG Calculus upang malutas ito at tatlong tukoy na derivative function.
1) Ang linearity ng derivative.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) Ang patakaran ng produkto.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)
3) Sa ngayon, ang pinakamahalagang konsepto sa lubos na pagkita ng kaibhan ay
ang tuntunin ng kadena. Para sa mga function ng tambalang, mga function ng iba pang mga function, #f (u (x)) # meron kami, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Maaari mong panatilihin ang pagpunta sa ito
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx}, at sa at sa at sa at sa. Tandaan # dx / dx = 1 #.
Halimbawa: Kung mayroon kang isang function ng isang function #f (u) # kung saan # u # ay isang funuction ng # x #. ibig sabihin #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Narito #f (u) = sqrt (u) # at #u (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # pagpapabalik # u = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Mga expression para sa mga partikular na uri ng pag-andar.
A) Kung paano kumuha ng derivative ng mga function ng kapangyarihan, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Paano kumuha ng pinagmulan ng # e ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- boring eh?
C) Paano kumuha ng pinagmulan ng # cos (x) # dahil # sec (x) = 1 / { cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
Ang susi sa di-malinaw na pagkakaiba-iba ay ang paggamit ng tuntunin ng kadena upang kunin ang mga derivative wrt x ng at function ng parehong x at y, tulad ng isang bilog.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2)
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
