Paglutas na ito gamit ang riemann integral?

Sagot:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # o # approx 1.302054638 … #

Paliwanag:

Ang bilang isang pinakamahalagang pagkakakilanlan para sa paglutas ng anumang uri ng problema sa walang katapusang produkto ay nagko-convert ito sa isang problema ng mga walang katapusang halaga:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

EMPHASIS:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ngunit, bago natin magawa ito, kailangan munang harapin ang # frac {1} {n ^ 2} sa equation at btw ay tinatawag na walang hangganang produktong L:

# L = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Ngayon maaari naming i-convert ito sa isang walang katapusang halaga:

# L = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n to + infty} exp { frac {1} {n}}) #

ilapat ang mga katangian ng logarithm:

# L = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ }) #

At gamit ang mga katangian ng limitasyon:

# L = exp lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Tawagin natin ang walang katapusang kabuuan S:

# S = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

At tandaan iyon

# L = exp (S) #

Ngayon, malutas natin ang iyong tanong sa pamamagitan ng pag-convert nito mula sa isang RIEMANN SUM sa isang DEFINITE INTEGRAL:

Alalahanin ang kahulugan ng Riemann sum ay:

EMPHASIS:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

Hayaan

(frac {ba} {n}) frac {ba} {n} = lim_ {n (n) sa n * 2}) = S #

Ngayon, hayaan # f (x) = ln (1 + x ^ 2) at isang = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Kaya, b = 1 ie.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Samakatuwid,

# S = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Solusyon para # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

gamitin ang pagsasama sa pamamagitan ng mga bahagi:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Hayaan # u = ln (1 + x ^ 2) at v = 1 #

Pagkatapos, gamitin ang tuntunin ng chain at ang hinangong ng natural na logarithm upang makuha # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

at gamitin ang tuntunin ng kapangyarihan upang makakuha ng: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Gamitin ang panuntunan sa pagbabawas:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Gamitin ang power rule para sa unang integral at ang pangalawang integral ay ang standard na trigonometric function # arctan (x) # (ang kabaligtaran ng function na padaplis)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Kaya, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ngayon ay malutas ang tiyak na mahalagang bahagi:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

Alam natin na ang anti-derivative ay # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Kaya

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

tandaan na ang arctan (1) ay 45 ° o # frac { pi} {4} # (pagpapabalik ang espesyal na kanang tatsulok na may haba ng gilid 1,1, # sqrt {2} # at mga anggulo 45 °, 45 °, 90 °) at din # arctan (0) = 0 #

Kaya naman # 2 = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #

o # approx 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Samakatuwid ang solusyon ay # lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # o # approx 1.302054638 … #