Hayaan ang 5a + 12b at 12a + 5b ay ang mga haba ng gilid ng isang tatsulok na hugis-kanan at 13a + kb ay ang hypotenuse, kung saan ang isang, b at k ay positive integers. Paano mo mahanap ang pinakamaliit na posibleng halaga ng k at ang pinakamaliit na halaga ng a at b para sa k?

Sagot:

#k = 10 #, # a = 69 #, # b = 20 #

Paliwanag:

Sa teorama ng Pythagoras, mayroon tayo:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Yan ay:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (puti) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Bawasan ang kaliwang bahagi mula sa parehong dulo upang mahanap ang:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (puti) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Mula noon #b> 0 # hinihingi namin ang:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Pagkatapos noon #a, b> 0 # hinihiling namin # (240-26k) # at # (169-k ^ 2) # upang magkaroon ng tapat na mga palatandaan.

Kailan #k sa 1, 9 # pareho # 240-26k # at # 169-k ^ 2 # ay positibo.

Kailan #k sa 10, 12 # nakita namin # 240-26k <0 # at # 169-k ^ 2> 0 # gaya ng kinakailangan.

Kaya ang pinakamababang posibleng halaga ng # k # ay #10#.

Pagkatapos:

# -20a + 69b = 0 #

Pagkatapos noon #20# at #69# walang karaniwang kadahilanan na mas malaki kaysa sa #1#, ang pinakamababang halaga ng # a # at # b # ay #69# at #20# ayon sa pagkakabanggit.