Paano mo mahanap ang lahat ng mga solusyon ng 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # para sa

#x sa {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # kung saan #n sa ZZ #

Lutasin: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

Una, palitan # cos ^ 2 x # sa pamamagitan ng # (1 - sin ^ 2 x) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

Tumawag # sin x = t #, meron kami:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Ito ay isang parisukat equation ng form # at ^ 2 + bt + c = 0 # na maaaring malutas sa pamamagitan ng shortcut:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

o factoring sa # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

Ang isang tunay na ugat ay # t_1 = -1 # at ang iba pa ay # t_2 = 1/2 #.

Susunod na malutas ang 2 pangunahing mga trig function:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (para sa #n sa ZZ #)

at

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

o

# rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

Tingnan ang equation (1):

#cos (3pi / 2) = 0; kasalanan (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (tama)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; kasalanan (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (tama)