Paano mo matukoy ang equation ng bilog na pumasa sa mga puntos D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Sagot:

Palitan ang bawat punto sa equation ng bilog, bumuo ng 3 equation, at substract ang mga na may hindi bababa sa 1 coordinate karaniwang (# x # o # y #).

Ang sagot ay:

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Paliwanag:

Ang equation ng bilog:

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Saan #α# #β# ang mga coordinate ng sentro ng bilog.

Kapalit para sa bawat ibinigay na punto:

Point D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Equation 1)

Point E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Equation 2)

Point F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Equation 3)

Substract equation #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Substract equation #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Ngayon na #α# at #β# ay kilala, palitan ang mga ito sa alinman sa mga puntos (gagamitin namin point #D (-5, -5) #):

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Kaya ang equation ng bilog ay nagiging:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Sagot:

Ang equation ng bilog ay # (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Paliwanag:

Una kailangan nating hanapin ang equation ng dalawang linya, ang bawat isa ay perpendikular sa mga segment na nabuo sa pamamagitan ng isang pares ng mga ibinigay na mga puntos at dumadaan sa midpoint ng pares ng mga puntos na ito.

Dahil ang mga puntos na D at E (# x_D = x_E = -5 #) ay nasa isang parallel na linya sa axis-Y (# x = 0 #) at tumuturo sa E at F (# y_E = y_F = 15 #) ay nasa isang parallel na linya sa axis-X (# y = 0 #) ito ay maginhawa upang piliin ang mga pares ng mga puntos.

Equation of Line DE, kung saan # x_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Equation ng linya 1 patayo sa DE at dumadaan sa midpoint #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

linya 1# -> y = 5 #

Equation of Line EF, kung saan # y_E = y_F = 15 #

# y = 15 #

Equation ng linya 2 patayo sa EF at dumadaan sa midpoint #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

linya 2# -> x = 5 #

Ang pagsasama ng mga equation ng mga linya 1 at 2 (# y = 5 # at # x = 5 #) nakita namin ang sentro ng bilog, ituro ang C

#C (5,5) #

Ang distansya sa pagitan ng point C sa alinman sa mga ibinigay na punto ay katumbas ng radius ng bilog

# R = d_ (CD) = sqrt ((5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

Sa formula ng equation ng lupon:

# (x-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #