Ano ang logarithm ng negatibong numero?

Ang mga logarithms ng mga negatibong numero ay hindi tinukoy sa tunay na mga numero, sa parehong paraan na ang square roots ng mga negatibong numero ay hindi tinukoy sa tunay na mga numero. Kung inaasahan mong mahanap ang log ng isang negatibong numero, sapat na ang sagot sa "hindi natukoy" sa karamihan ng mga kaso.

Ito ay posible upang masuri ang isa, gayunpaman, ang sagot ay isang komplikadong numero. (isang bilang ng mga form #a + bi #, kung saan #i = sqrt (-1) #)

Kung pamilyar ka sa mga kumplikadong numero at komportable kang magtrabaho sa mga ito, pagkatapos ay basahin sa.

Una, magsimula tayo sa pangkalahatang kaso:

#log_b (-x) =? #

Gagamitin namin ang pagbabago-sa-batayang panuntunan at i-convert sa mga likas na logarithms, upang gawing mas madali ang mga bagay sa ibang pagkakataon:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Tandaan na #ln (-x) # ay ang parehong bagay bilang #ln (-1 * x) #. Maaari naming pagsamantalahan ang karagdagan ng ari-arian ng logarithms, at paghiwalayin ang bahaging ito sa dalawang magkakahiwalay na mga tala:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Ngayon ang tanging problema ay pag-uunawa kung ano #ln (-1) # ay. Maaaring mukhang isang imposibleng bagay na masuri sa simula, ngunit may isang medyo sikat na equation na kilala bilang Euler's Identity na makakatulong sa amin.

Ayon sa Euler's Identity:

# e ^ (ipi) = -1 #

Ang resulta ay mula sa mga pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan ng sine at cosine. (Hindi ko ipaliwanag na masyadong malalim, ngunit kung ikaw ay interesado, mayroong isang magandang pahina dito na nagpapaliwanag ng kaunti pa)

Sa ngayon, ipaalam lamang sa amin ang natural na log ng magkabilang panig ng Pagkakakilanlan ni Euler:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Pinasimple:

#ipi = ln (-1) #

Kaya, ngayon na alam namin kung ano #ln (-1) # ay, maaari naming palitan pabalik sa aming equation:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Ngayon mayroon kang isang formula para sa paghahanap ng mga log ng mga negatibong numero. Kaya, kung gusto naming suriin ang isang bagay tulad ng # log_2 10 #, maaari lamang nating i-plug ang ilang halaga:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #