Mangyaring ipaliwanag, ito ay isang Pagbabago ng Linear o hindi?

Sagot:

Tingnan sa ibaba

Paliwanag:

Isang trasformation #T: V sa W # ay sinabi na linear kung mayroon itong mga sumusunod na dalawang katangian:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # sa bawat # v_1, v_2 sa V #
• #T (cv) = cT (v) # sa bawat #v sa V # at bawat scalar # c #

Tandaan na ang ikalawang ari-arian ay ipinapalagay na # V # ay naka-embed na may dalawang pagpapatakbo ng kabuuan at scalar multiplikasyon. Sa aming kaso, ang kabuuan ay ang kabuuan sa pagitan ng mga polynomials, at ang pagpaparami ay ang pagpaparami na may tunay na mga numero (akala ko).

Kapag nakuha mo ang isang polinomyal, pinababa mo ang antas nito #1#, kaya kung nakuha mo ang isang polinomyal ng degree #4# dalawang beses, makakakuha ka ng isang polinomyal ng degree #2#. Tandaan na, kapag nagsasalita tayo ng hanay ng lahat ng apat na degree na polyinomial, aktwal na ibig sabihin natin ang hanay ng lahat ng polynomials ng degree Kadalasan apat. Sa katunayan, ang isang pangkaraniwang antas ng apat na polinomyal ay

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Kung gusto mo ang degree na dalawang polinomyal # 3 + 6x-5x ^ 2 #, halimbawa, pipiliin mo lang

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Gamit ang pagiging sinabi, let's kilalanin ang polinomyal na puwang ng degree # n # may # P_n #, at tukuyin ang aming operator #T: P_4 sa P_2 # tulad na #T (f (x)) = f '' (x) #

Ipasa natin ang unang ari-arian: ipagpalagay na mayroon tayong mga polynomial

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

at

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Nangangahulugan ito na # p_1 + p_2 # katumbas ng

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # ay ang ikalawang nanggaling ng polinomyal na ito, kaya't ito ay

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Naglapat ako nang dalawang beses ang panuntunan ng kapangyarihan para sa derivasyon: ang ikalawang nanggaling ng # x ^ n # ay #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Ngayon ipaalam natin #T (p_1) #, ibig sabihin ang ikalawang nanggaling ng # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Katulad nito, #T (p_2) #, ibig sabihin ang ikalawang nanggaling ng # p_2 #, ay

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Kung sumasama ka sa mga expression na ito, maaari mong makita na mayroon kami

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

Ang ikalawang ari-arian ay ipinapakita sa isang katulad na paraan: na ibinigay ng isang polinomyal

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

mayroon kami, para sa anumang tunay na numero # c #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

kaya naman ang pangalawang hinalaw nito

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

na muli ay kapareho ng computing #T (p) #, at pagkatapos ay i-multiply ang lahat ng bagay # c #, i.e. #T (cp) = cT (p) #