Mathematically nakuha ang mga ugat ng kulay (puti) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Sagot:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # para sa #n = 0, 1, 2 #

Paliwanag:

Ibinigay:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Trigonometriko pagpapalit

Dahil mayroon itong kubiko #3# Mga tunay na zero, ang paraan ni Cardano ay magreresulta sa mga expression na kinasasangkutan ng mga di-mababawas na mga pinagmulan ng kubo ng mga kumplikadong numero. Ang paraan ni Cardano ay hindi mali, ngunit hindi ito masyadong magiliw, maliban kung ang mga ugat ng kubo ay may simpleng anyo.

Bilang isang alternatibo sa ganitong mga kaso, pipiliin kong gumamit ng isang trigonometriko pagpapalit.

Hayaan:

#x = k cos theta #

Ang lansihin ay ang pipiliin # k # tulad na ang nagreresulta na expression ay naglalaman # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Meron kami:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (white) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (white) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (white) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # may # k = 2 #

#color (white) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Kaya:

#cos 3 theta = 1/2 #

Kaya:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # para sa anumang integer # n #

Kaya:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # para sa anumang integer # n #

Ito ay magbibigay #3# magkakaibang posibleng halaga ng #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # para sa #n = 0, 1, 2 #.