Ang pinakamalaking bahagi ng isang tamang tatsulok ay isang ^ 2 + b ^ 2 at ang iba pang panig ay 2ab. Anong kondisyon ang magagawa ng ikatlong bahagi upang maging pinakamaliit na panig?

Sagot:

Para sa ikatlong panig na pinakamaikli, kailangan namin # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb # (at iyon # a # at # b # magkaroon ng parehong tanda).

Paliwanag:

Ang pinakamahabang gilid ng isang tamang tatsulok ay palaging ang hypotenuse. Kaya alam natin na ang haba ng hypotenuse ay # a ^ 2 + b ^ 2. #

Hayaan ang hindi kilalang haba ng gilid ay # c. # Pagkatapos ay mula sa Pythagorean teorama, alam namin

# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #

# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #

#color (white) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #

#color (white) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #

#color (white) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #

#color (puti) c = a ^ 2-b ^ 2 #

Kinakailangan din namin na maging positibo ang lahat ng haba ng gilid

# a ^ 2 + b ^ 2> 0 #

# => a! = 0 o b! = 0 #

# 2ab> 0 #

# => a, b> 0 o a, b <0 #

# c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #

# <=> a ^ 2> b ^ 2 #

# <=> absa> absb #

Ngayon, para anuman tatsulok, ang pinakamahabang panig dapat maging mas maikli kaysa sa kabuuan ng iba pang dalawang panig. Kaya mayroon tayo:

#color (white) (=>) 2ab + "" c color (white) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab na kulay (puti) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

# => {(a> b "," if b> 0), (a <b "," if b <0):} #

Dagdag pa, para sa pangatlong bahagi na pinakamaliit, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

o # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # o # a-b <sqrt2b # o #a <b (1 + sqrt2) #

Ang pagsasama-sama sa lahat ng mga paghihigpit na ito, maaari nating pagbigyang-diin na upang ang ikatlong panig ay pinakamaikli, kailangan natin # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb at (a, b <0 o a, b> 0). #